정수

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정수들의 집합은 순서에 따라 직선 위에 나타낼 수 있다. 직선위는 0을 기준으로 오른쪽은 양수, 왼쪽은 음수로 구분할 수 있다.

수학에서 정수(整數, 문화어: 옹근수, integer)는 양의 정수(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... , n), 음의 정수(-1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8...) 및 0으로 이루어진 수의 체계이다. 또는 자연수, 자연수의 음수 및 영을 통칭하는 말이다. 수론의 가장 기본적인 연구 대상이다. 정수 전체의 집합의 기호는 $\mathbb{Z}$이다.

정의

정수 체계는 (0을 포함하는) 자연수 체계 $\mathbb{N}$으로부터 다음과 같이 정의할 수 있다. 집합 $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$ 위에 다음과 같은 조건을 만족시키는 최소 동치 관계를 주자.

$(m,n)\sim (m+k,n+k)\mathrm{\forall }k\in \mathbb{N}$

이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 $\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times \mathbb{N})/\sim$라고 정의하자. 그 위에 덧셈과 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

$[(m,n){]}_{\sim }+[(p,q){]}_{\sim }=[(m+p,n+q){]}_{\sim }$

$[(m,n){]}_{\sim }\cdot [(p,q){]}_{\sim }=[(mp+nq,mq+np){]}_{\sim }$

그렇다면 정수의 집합 $\mathbb{Z}$는 환을 이루며, 이를 정수환(整數環, 영어: ring of integers)이라고 한다. 이러한 구성은 소거 가환 모노이드를 아벨 군으로 확장하는 그로텐디크 군 구성의 한 예다.

성질

대수적 성질

자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.

	덧셈	곱셈
닫힘	a + b  은 정수	a × b  은 정수
결합법칙	a + (b + c)  =  (a + b) + c	a × (b × c)  =  (a × b) × c
교환법칙	a + b  =  b + a	a × b  =  b × a
항등원	a + 0  =  a	a × 1  =  a
역원	a + (−a)  =  0	--------
분배법칙	(a × b) + (a × c)=a × (b + c)

관련 개념

유리수와 정수의 관계는 대수적 수와 대수적 정수의 관계까지 일반화될 수 있다.

같이 보기

• 수학
• 음수
• 양수
• 유리수

외부 링크

• “Integer” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Integer” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Integer” (영어). 《nLab》.