정칙렬

가환대수학에서 정칙렬(正則列, 영어: regular sequence 레귤러 시퀀스^[*])은 어떤 가군의 크기를 하나씩 ‘최대한’ 줄이는, 가환환 원소들의 열이다.^[1]^{:123–152, Chapter 6} 여기서 가군의 ‘크기를 줄인다’는 것은 가환환의 원소로 생성되는 부분 가군에 대한 몫가군을 취하는 것이다. 구체적으로, 정칙렬에서 임의의 성분 $a_{i}$ 는 그 이전 성분들( $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i - 1}$ )로 생성되는 부분 가군 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i - 1}) M$ 에 대한 몫가군 $M / (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{i - 1}) M$ 의 영인자가 아니다.

대수기하학적으로, 정칙렬은 여차원을 양의 정수 만큼씩 줄이는 ‘잘라내기’들로서 정의되는 부분 대수다양체에 해당한다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $R$
$R$ 의 아이디얼 $𝔞$
$R$ 의 가군 $M$ . 또한, $𝔞 M ⊊ M$ 이라고 하자.

유한 원소열 $r_{1}, \dots, r_{n} \in R$ 가 다음 조건을 만족시키면, $M$ 의 정칙렬이라고 한다.^[2]^:419

임의의 $i = 1, 2, \dots, n$ 및 $m \in M$ 에 대하여، 만약 $r_{i} m \in (r_{1}, \dots, r_{i - 1}) M$ 이라면, $m \in (r_{1}, \dots, r_{i - 1}) M$ 이다. (즉, $r_{i}$ 는 $M / (r_{1}, \dots, r_{i - 1}) M$ 의 영인자가 아니다.)

일부 문헌에서는 정칙렬의 정의에 $(r_{1}, \dots, r_{n}) M \neq M$ 이라는 조건을 추가한다. 이는 가군의 깊이의 개념을 정의하는 데 더 편리하지만, 이 조건은 국소화에 대하여 보존되지 못한다.

기하학적으로, 정칙렬의 원소는 가군의 소멸자 ${Ann}_{R} M$ 속의 일련의 부분 스킴들

Spec \frac{R}{{Ann}_{R} M} \leftarrow Spec \frac{R}{{Ann}_{R} (M / r_{1} M)} \leftarrow Spec \frac{R}{{Ann}_{R} (M / (r_{1}, r_{2}) M)} \leftarrow \dots

에 대응된다. 특히, 만약 $M = R$ 인 경우 이는 ‘방정식’을 하나씩 추가하여 얻어지는 부분 스킴들의 열

Spec R \leftarrow Spec \frac{R}{(r_{1})} \leftarrow Spec \frac{R}{(r_{1}, r_{2})} \leftarrow \dots

에 해당한다.

성질

$R$ -가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{d}$ 이 주어졌을 때, 임의의 가역원 $u_{1}, u_{2}, \dots, u_{d} \in R^{\times}$ 에 대하여 $u_{1} r_{1}, \dots, u_{d} r_{d}$ 역시 정칙렬이다.

국소화

$R$ -가군 $M$ 속의 정칙렬 $r_{1}, \dots, r_{d}$ 이 주어졌으며, $R$ 의 곱셈 모노이드 $S \subseteq R$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 국소화 $S^{- 1} R$ 로 가는 표준 환 준동형 $ϕ : R \to S^{- 1} R$ 에 대하여, 원소열 $ϕ (r_{1}), \dots, ϕ (r_{d})$ 역시 $S^{- 1} M$ 의 정칙렬이다.

증명:

가군의 국소화는 완전 함자이며, 따라서 단사 가군 준동형은 단사 가군 준동형으로 대응된다. $ϕ (r_{1}), \dots, ϕ (r_{d})$ 가 정칙렬이라는 것은

(ϕ (r_{i}) \cdot) : \frac{S^{- 1} M}{(ϕ (r_{1}), \dots, ϕ (r_{i - 1})) S^{- 1} M} \to \frac{S^{- 1} M}{(ϕ (r_{1}), \dots, ϕ (r_{i - 1})) S^{- 1} M}

가 단사 함수라는 것인데, 이는 단사 함수

r_{i} : \frac{M}{(r_{1}, \dots, r_{i - 1}) M} \to \frac{M}{(r_{1}, \dots, r_{i - 1}) M}

의 상이므로 단사 함수이다.

(※만약 정칙렬의 정의에 $(r_{1}, \dots, r_{d}) M \neq M$ 이라는 조건을 추가한다면, 이 조건은 국소화에 의하여 일반적으로 보존되지 못한다.)

순열

정칙렬의 순열은 일반적으로 정칙렬이 아니다.

다만, 뇌터 가환환 $R$ 의 유한 생성 가군 $M$ 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 정칙렬 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{d}$ 의 순열은 역시 정칙렬이다.^[1]^{:126, Theorem 16.3}

아이디얼 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{d})$ 은 $R$ 의 근기 $rad R$ 의 부분 집합이다.

깊이

뇌터 가환환 $R$ 의 아이디얼 $𝔞 ⊊ R$ 및 유한 생성 가군 $M$ 이 주어졌을 때, $𝔞$ 속에 포함된 $M$ -정칙렬의 최대 길이를 $(𝔞, M)$ 의 깊이라고 한다. 이 개념은 호몰로지 대수학에서 중요한 역할을 한다.

국소 가환환에서, 극대 아이디얼에 포함된 정칙렬의 길이는 그 크룰 차원 이하이다. 이 상한을 포화시키는 (즉, 깊이와 차원이 일치하는) 국소 가환환을 코언-매콜리 국소환이라고 한다.

예

길이 1의 정칙렬은 단순히 가군의 영인자가 아닌 임의의 원소이다.

정칙렬이 아닌 정칙렬 순열

$ℂ [x, y, z]$ 를 스스로 위의 가군으로 간주하자. 이 경우,

x, y (1 - x), z (1 - x)

는 정칙렬이다. 그러나 그 순열인

y (1 - x), z (1 - x), x

는 정칙렬이 아니다.^[1]^{:127, §16} 구체적으로, $y (1 - x)$ 는 $ℂ [x, y, z]$ 의 영인자가 아니지만, $z (1 - x)$ 는 $ℂ [x, y, z] / (y (1 - x))$ 의 영인자이다. 예를 들어

z (1 - x) \cdot y \in y (1 - x) ℂ [x, y, z]

y \in̸ y (1 - x) ℂ [x, y, z]

이다.

기하학적으로, $ℂ [x, y, z]$ 는 3차원 아핀 공간이며, 이 경우

ℂ [x, y, z] / (x)

는 $x = 0$ 으로 정의되는 $y z$ 평면이다. 그 속에서

ℂ [x, y, z] / (x, y (1 - x)) ≅ ℂ [x, y, z] / (x, y)

는 $z$ 축이며,

ℂ [x, y, z] / (x, y (1 - x), z (1 - x)) ≅ ℂ [x, y, z] / (x, y, z)

는 그 속의 원점이다.

반면,

ℂ [x, y, z] / (y (1 - x))

는 $y = 0$ 평면과 $x = 1$ 평면의 합집합이다. 그 속에서

ℂ [x, y, z] / (y (1 - x), z (1 - x))

는

y = z = 0

축과

x = 1

평면의 합집합이므로, 이는 양의 여차원을 갖지 못한다.

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 ^다 Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》 2판 (영어). 번역 Reid, Miles. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
↑ Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.

외부 링크

Weisstein, Eric Wolfgang. “Ring regular sequence” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Regular sequence” (영어). 《nLab》.
“§10.67 Regular sequences” (영어). 《The Stacks Project》.

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[Matsumura-1] 가 ^나 ^다 Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》 2판 (영어). 번역 Reid, Miles. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.

[Eisenbud-2] Eisenbud, David (1995). 《Commutative algebra with a view toward algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 150. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 978-0-387-94269-8. ISSN 0072-5285. MR 1322960. Zbl 0819.13001.

[1]

[2]