정칙 국소환

가환대수학에서 정칙 국소환(正則局所環, 영어: regular local ring)은 극대 아이디얼의 최소 생성원 집합의 크기가 크룰 차원과 같은 뇌터 국소환이다.

정의

가환 뇌터 국소환 $(R,𝔪,K)$에 대하여, 다음 두 성질들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가환 뇌터 국소환을 정칙 국소환이라고 한다. (여기서 $𝔪$은 $R$의 유일한 극대 아이디얼이며, $K=R/𝔪$은 그 잉여류체이다.)

• 극대 아이디얼을 생성하는 매개계가 존재한다. 즉, 극대 아이디얼 $𝔪$은 $\dim R$개의 원소들로 생성된다 ($\dim R$는 크룰 차원).
  • 크룰 높이 정리에 따라, 임의의 뇌터 환의 극대 아이디얼에 대하여, $𝔪$은 최소한 $\dim R$개 이상의 원소로 생성된다. 즉, 이 조건은 크룰 높이 정리에 따른 하한이 포화된다는 것이다.
• ${\dim }_K𝔪/{𝔪}^2=\dim R$이다. 여기서 ${\dim }_K$는 $K$-벡터 공간의 차원이다.
  • $𝔪/{𝔪}^2$는 $\mathrm{Spec}R$의 유일한 닫힌 점 $𝔪$에서의 자리스키 공변접공간이다. 즉, 이 조건은 자리스키 (공변)접공간의 차원이 아핀 스킴 $\mathrm{Spec}R$ 자체의 (크룰) 차원과 같다는 것이다.
• $R$ 위의 모든 가군들의 사영 차원은 상계를 갖는다.

  $\sup \{\mathrm{pd}M:M\in {\mathrm{Mod}}_R\}<\mathrm{\infty }$

• $R$ 위의 모든 가군들의 사영 차원은 $\dim R$ 이하이다.

  $\sup \{\mathrm{pd}M:M\in {\mathrm{Mod}}_R\}\le \dim R$

정칙 스킴은 모든 국소환이 정칙 국소환인 스킴이다. 정칙환(正則環, 영어: regular ring) $R$는 아핀 스킴 $\mathrm{Spec}R$가 정칙 스킴인 가환환이다. 즉, 모든 소 아이디얼에서의 국소화가 정칙 국소환인 가환환이다.

성질

체를 포함하는 정칙 국소환 $R$는 스스로의 분수체에 대한 형식적 멱급수환이다. 즉,

$R\cong \mathrm{Frac}(R)[[x_1,\dots ,x_{\dim R}]]$

이다.

연산에 대한 닫힘

정칙 국소환의 모든 국소화 및 완비화 역시 정칙국소환이다.

국소 가환환이 정칙 국소 가환환일 필요 충분 조건은 그 (극대 아이디얼에서의) 완비화가 정칙 국소 가환환인 것이다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

		이산 값매김환
		∩
체	⊂	정칙 국소환	⊂	고런스틴 국소환	⊂	코언-매콜리 국소환	⊂	뇌터 국소 가환환
		∩
		유일 인수 분해 정역

모든 정칙 국소환은 유일 인수 분해 정역이라는 사실은 오슬랜더-북스바움 정리(영어: Auslander–Buchsbaum theorem)라고 한다.

또한, 다음이 성립한다. 정칙 국소환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• $R$는 체이다.
• $\dim R=0$이다.

(체는 크룰 차원이 0이며, 체에서는 영 아이디얼이 극대 아이디얼이다.)

정칙 국소환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• $R$는 이산 값매김환이다.
• $\dim R=1$이다.

분류

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정칙 국소환은 국소화를 가하여 완비 국소환으로 만들 수 있다. 이 가운데 뇌터 가환환인 것은 구조 정리가 알려져 있다.

예

소수 $p$에 대한 p진 정수환 ${\mathbb{Z}}_p$은 이산 값매김환이므로 정칙 국소환이다. 이는 체를 포함하지 않는 정칙 국소환의 예이다.

국소환 $R$에 대한, $n$개의 변수에 대한 형식적 멱급수환 $R[[x_1,\dots ,x_n]]$은 정칙 국소환이다. 특히, 체 $K$에 대한 형식적 멱급수환 $K[[x_1,\dots ,x_n]]$은 $n$차원의 정칙 국소환이다.

정칙 국소환이 아닌 국소환

체 $K$에 대하여 국소 가환환 $K[x]/(x^2)$를 생각하자. 그 크룰 차원은 0차원이지만, 그 극대 아이디얼 $(x)$은 영 아이디얼이 아니며, 하나의 원소로 생성된다. 따라서 이는 정칙 국소환이 아니다.

호몰로지 대수학적으로, $K[x]/(x^2)$는 다음과 같은 무한 분해를 갖는다.

$\cdots \stackrel{\cdot x}{\to }\frac{K[x]}{(x^2)}\stackrel{\cdot x}{\to }\frac{K[x]}{(x^2)}\stackrel{\cdot x}{\to }\frac{K[x]}{(x^2)}\to K\to 0$

따라서 그 가군의 사영 차원은 무한히 클 수 있으며, 상계를 갖지 못한다.

대수기하학적으로, $K[x]/(x^2)$는 아핀 직선 ${𝔸}_K^1=\mathrm{Spec}K[x]$ 속의 원점 $\mathrm{Spec}(K[x]/(x))\hookrightarrow \mathrm{Spec}K[x]$의 ‘무한소 근방’에 해당한다. 따라서 이는 기하학적으로 특이점을 이룬다. 이는 사실

응용

대수기하학에서, 완전체에 대한 대수다양체 $V$가 $x\in V$에서 비특이인 필요 충분 조건은 싹의 국소환 ${𝒪}_{V,x}$가 정칙 국소환인 것이다. ‘정칙 국소환’이라는 이름은 이 성질에서 유래하였다. 이를 사용하여, 정칙성을 일반적인 스킴에 대하여 정의할 수 있다. 정칙 스킴(영어: regular scheme)은 정칙환의 스펙트럼으로 덮을 수 있는 스킴이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 아핀 대수다양체 $V\subset K^n$ 속의 (닫힌) 점 $x\in V$에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다.

• 국소환 ${𝒪}_{V,x}$가 정칙국소환이다.
• $V$가 다항식들 $f_1,\dots ,f_m\in K[x_1,\dots ,x_n]$의 영점들의 교집합이라고 하자. 그렇다면, $x\in K^n$에서의 $m\times n$ 야코비 행렬 $(\partial f_i/\partial x^j){|}_x$의 계수가 $n-\dim V$이다.

즉, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수다양체의 경우 이 조건은 고전적인 비특이점의 개념과 일치함을 알 수 있다.

역사

정칙 국소환의 개념은 볼프강 크룰이 1937년에 도입하였다.

외부 링크

• “Regular ring (in commutative algebra)” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular local ring” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Regular ring” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Regular local ring” (영어). 《nLab》.