원시환

환론에서 원시환(原始環, 영어: primitive ring)은 단순 가군으로서 완전히 나타낼 수 있는 환이다. 이러한 환들은 나눗셈환 위의 선형 변환들의 환에 가깝다.

정의

환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 원시환(영어: left primitive ring)이라고 한다.

• 충실한 왼쪽 단순 가군을 갖는다.^{:172, Definition 11.2}
• 소환이며, 가군의 길이가 유한한 충실한 왼쪽 가군을 갖는다.^{:191, Exercise 11.19}
• 영 아이디얼이 아닌 양쪽 아이디얼을 포함하지 않는 극대 왼쪽 아이디얼이 존재한다.
• 다음 성질을 만족시키는 왼쪽 아이디얼 $𝔞⊊R$이 존재한다.^{:186, Lemma 11.28}
  • 임의의 아이디얼 $𝔟\subseteq R$에 대하여, 만약 $𝔟\ne \{0\}$이라면 $𝔞+𝔟=R$이다.
• (제이컵슨 조밀성 정리 영어: Jacobson density theorem) 나눗셈환 $D$ 위의 왼쪽 가군 $V$에 이산 위상을 주고, 자기 함수 집합 $V^V$에 곱위상을 주고, 자기준동형환 ${\mathrm{End}}_{D}V\subseteq V^V$에 부분 공간 위상을 주면, ${\mathrm{End}}_{D}V$의 조밀 부분환과 동형이다.

오른쪽 원시환(영어: right primitive ring)은 왼쪽 원시환의 반대환이다. 즉, 위와 마찬가지로 정의된다.

성질

가환환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:173, Proposition 11.8}

• 왼쪽 원시환이다.
• 오른쪽 원시환이다.
• 체이다.

왼쪽 아르틴 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

• 왼쪽 원시환이다.
• 오른쪽 원시환이다.
• 소환이다.
• 단순환이다.
• 나눗셈환 $D$ 위의 행렬환 $\mathrm{Mat}(n;D)$과 동형이다 ($n\in \mathbb{N}$).^{:181, Theorem 11.19}

왼쪽·오른쪽 원시환은 반원시환(영어: semiprimitive ring)이며 소환(영어: prime ring)이다. 모든 단순환은 왼쪽 원시환이자 오른쪽 원시환이다. 즉, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.^:173

반단순환	⇒	반원시환	⇒	반소환
		⇑		⇑
단순환	⇒	左·右 원시환	⇒	소환

분류

$R$가 왼쪽 원시환이라고 하고, $M$이 $R$의 충실한 왼쪽 단순 가군이라고 하자. 그렇다면, 슈어 보조정리에 따라 ${\mathrm{End}}_{R}M$은 나눗셈환이다. 또한, $M$은 자연스럽게 ${\mathrm{End}}_{R}M$의 왼쪽 가군이며, 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.

$R\to {\mathrm{End}}_{R}M$

$r\mapsto (m\mapsto rm)$

또한, $M$이 충실한 가군이므로 이 환 준동형은 (정의에 따라) 단사 함수이다. 즉, $R$를 ${\mathrm{End}}_{R}M$의 부분환으로 여길 수 있으며, ${\mathrm{End}}_{R}M$의 작용을 $R$로 제약시키면, $R$의 원래 작용과 같다.

이제, $M$에 이산 위상을 부여하고, 자기 함수 집합

$M^M=\prod _{m\in M}M$

에 곱위상을 부여하고,

${\mathrm{End}}_{R}M\subseteq M^M$

에 부분 공간 위상을 부여하자.

제이컵슨 조밀성 정리(영어: Jacobson density theorem)에 따르면, $R$는 ${\mathrm{End}}_{R}M$의 조밀 집합이다. 이 위상에서 조밀 집합이라는 것은 구체적으로 다음과 같다.

• 임의의 자연수 $n\in \mathbb{N}$ 및 $\overrightarrow{m}\in M^n$에 대하여, $R\overrightarrow{m}=M^n$이다.

예

자명환은 왼쪽·오른쪽 원시환이 아니다.^{:172, Definition 11.2}

표수가 0인 체 $K$에 대한 바일 대수 $K⟨x,p⟩/(xp-px-1)$는 원시환이다.

왼쪽 원시환이지만 오른쪽 원시환이 아닌 환이 존재한다.

외부 링크

• “Primitive ring” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 17일). “Primitive rings; definition & examples” (영어). 《Abstract Algebra》. 2015년 4월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 17일에 확인함. 
• Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 19일). “Jacobson density theorem” (영어). 《Abstract Algebra》. 2015년 4월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 17일에 확인함. 
• Sharifi, Yaghoub (2009년 12월 19일). “Some applications of density theorem” (영어). 《Abstract Algebra》. 2015년 4월 19일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 4월 17일에 확인함.