조밀 집합

일반위상수학에서 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다. 예를 들면 유리수의 집합은 실수선의 조밀 집합이다. 왜냐하면, 어떤 실수를 골라도 이에 수렴하는 유리수의 수열을 언제나 생각할 수 있기 때문이다. (그물을 점렬로 대체한 조건은 보다 강한 조건이지만, 제1 가산 공간에서 두 조건은 서로 동치이다.)

정의

위상 공간 $X$의 부분 집합 $D\subseteq X$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.

• 임의의 열린집합 $U$에 대하여, 만약 $U\subseteq X\setminus D$라면 $U=\varnothing$이다.
• 임의의 닫힌집합 $C$에 대하여, 만약 $D\subseteq C\subseteq X$라면 $C=X$이다.
• $\mathrm{cl}(D)=X$.^{:191, §30:7, §1} 여기서 $\mathrm{cl}$은 폐포이다.
• $\mathrm{int}(X\setminus D)=\varnothing$. 여기서 $\mathrm{int}$는 내부이다.
• 모든 $x\in X$ 및 $x$의 모든 근방 $U\ni x$에 대하여, $D\cap U\ne \varnothing$.
• $X$의 모든 점들은 $D$의 원소이거나 $D$의 극한점이다.^{:7, §1}

성질

연산에 대한 닫힘

임의의 위상 공간 $X$ 속의 조밀 집합 $D\subseteq X$ 및 $D\subseteq E\subseteq X$에 대하여, $E$ 역시 $D$의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 $\mathrm{Dense}(X)\subseteq \mathrm{Pow}(X)$은 $X$의 멱집합 $\mathrm{Pow}(X)$ 속의 상집합이다.

특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 $D$와 조밀 열린집합 $U$가 주어졌을 때, 그 교집합 $D\cap U$는 조밀 집합이다.

증명:

임의의 열린집합 $V\subseteq X$가 주어졌으며, $V\ne \varnothing$이라고 하자. 그렇다면 $U$가 조밀 열린집합이므로 $U\cap V\ne \varnothing$이며, 따라서 $D\cap (U\cap V)\ne \varnothing$이다.

특히, 조밀 열린집합들의 족 $\mathrm{Dense}(X)\cap \mathrm{Open}(X)$은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 $\mathrm{Pow}(X)$ 속의 필터를 이룬다.

임의의 두 위상 공간 $X$, $Y$ 사이의 전사 연속 함수 $f:X\to Y$가 주어졌을 때, 조밀 집합 $D\subseteq X$의 상 $f[D]\subseteq Y$ 역시 조밀 집합이다.

증명:

임의의 $y\in Y$에 대하여, $f$가 전사 함수이므로 $f(x)=y$인 $x\in X$가 존재하며, $D$가 조밀 집합이므로 $x$로 수렴하는 그물 $(x_i{)}_{i\in I}\subseteq D$가 존재하며, $f$가 연속 함수이므로 $f(x_i)\to f(x)=y$이다. 따라서 $f[D]$는 $Y$의 조밀 집합이다.

조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 $X\subseteq Y\subseteq Z$이며, $X$가 $Y$의 조밀 집합이고 $Y$가 $Z$의 조밀 집합이라면 $X$는 $Z$의 조밀 집합이다.

증명:

$U\subseteq Z$가 $Z$의 열린집합이며 $U\subseteq Z\setminus X$라고 하자. 그렇다면 $U\cap Y$는 $Y$의 열린집합이며, $U\cap Y\subseteq Y\setminus X$이다. $X$가 $Y$의 조밀 집합이므로 $U\cap Y=\varnothing$이다. 즉, $U\subseteq Z\setminus Y$이다. $Y$가 $Z$의 조밀집합이므로 $U=\varnothing$이다.

함의 관계

모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.

조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합

조밀 집합은 연속 함수를 결정한다

임의의 위상 공간 $X$와 하우스도르프 공간 $Y$ 및 조밀 집합 $D\subseteq X$와 두 연속 함수 $f,g:X\to Y$가 주어졌다고 하자. 만약 $f\upharpoonright D=g\upharpoonright D$라면, $f=g$이다. (여기서 $\upharpoonright$은 함수의 제한을 뜻한다.)

증명:

임의의 $x\in ̸D$에 대하여, $f=g$임을 보이면 족하다. $D$가 조밀 집합이므로, $x$로 수렴하는, $D$ 속의 점들로 구성된 그물 $(x_i{)}_{i\in I}$가 존재한다. $f$가 연속 함수이므로

$g(x_i)=f(x_i)\to f(x)$

$f(x_i)=g(x_i)\to g(x)$

이며, $Y$가 하우스도르프 공간이므로 그물의 극한은 유일하다. 따라서 $f(x)=g(x)$이다.

예

위상 공간 $X$는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, $X$ 전체가 아닌 $X$의 모든 닫힌집합은 $X$의 조밀 집합이 아니다.

유한 부분 집합의 여집합

자기 조밀 T₁ 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.

증명:

조밀 열린집합들은 교집합에 대하여 닫혀 있으므로, 임의의 $x\in X$에 대하여 $X\setminus \{x\}$가 조밀 열린집합임을 보이면 족하다.

• $X\setminus \{x\}$는 T₁ 조건에 의하여 열린집합이다.
• $X\setminus \{x\}$는 자기 조밀 공간 조건에 의하여 닫힌집합이 아니다. 따라서 $\mathrm{cl}(X\setminus \{x\})=X$이며, $X\setminus \{x\}$는 조밀 집합이다.

이산 공간

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 이산 공간이다.
• 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 $X$ 전체이다.)

증명:

이산 공간 $X$에서 조밀 집합이 $X$ 전체 밖에 없다는 것은 자명하다. 반대로, 위상 공간 $X$가 이산 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, 열린집합이 아닌 한원소 집합 $\{x\}\subseteq X$가 존재한다. 그렇다면, $X\setminus \{x\}$는 $X$의 조밀 집합이다.

비이산 공간

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 비이산 공간이다.
• $X$의 공집합이 아닌 모든 부분 집합은 조밀 집합이다.

증명:

비이산 공간 $X$에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, $X$가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 $\varnothing \ne F⊊X$가 존재한다고 하자. 그렇다면 $F$는 조밀 집합이 아니다.

실수선의 조밀 집합

실수선 $ℝ$의 부분 집합들을 생각하자.

• 유리수의 집합 $\mathbb{Q}$는 실수선의 조밀 집합이다.
• 무리수의 집합 $ℝ\setminus \mathbb{Q}$ 역시 실수선의 조밀 집합이다.
• 반면, 자연수의 집합 $\mathbb{N}$, 정수의 집합 $\mathbb{Z}$는 $ℝ$의 조밀 집합이 아니다.

임의의 세 실수 $a<b<c$에 대하여, $[a,b)\cup (b,c]=[a,c]\setminus \{b\}$는 $[a,c]$ 안의 조밀 집합이다.

외부 링크

• “Dense set” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Dense” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Dense subspace” (영어). 《nLab》. 
• “Definition: everywhere dense” (영어). 《ProofWiki》.