제2 기본 형식

미분기하학에서 제2 기본 형식(第二基本形式, 영어: second fundamental form)은 매끄러운 다양체의 부분 다양체의 모양을 나타내는 이차 형식이다.

정의

아핀 접속 $\nabla$ 가 주어진 매끄러운 다양체 $M$ 속의 부분 다양체 $Σ \subset M$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $Σ$ 의 제2 기본 형식 ${II}_{Σ}$ 는 $Σ$ 위의 텐서장이다. 이는 매끄러운 벡터 다발 $N_{M / Σ} \otimes (T^{*} Σ) \otimes (T^{*} Σ)$ 의 매끄러운 단면이며, 그 정의는 다음과 같다. 매장 함수 $f : Σ \to M$ 이 주어졌을 때,

{II}_{α β}^{\hat{μ}} = P_{μ}^{\hat{μ}} \nabla_{α} (\partial_{β} f^{μ})

여기서 $N_{M / Σ}$ 는 법다발이며, $P : T M \to N_{M / Σ}$ 는 $T M$ 에서 $N_{M / Σ}$ 으로 가는 사영 연산자이다. 만약 $M$ 의 접속의 비틀림이 0이라면 제2 기본 형식은 대칭 텐서이다.

유클리드 공간의 2차원 곡면

고전적으로, 제2 기본 형식은 유클리드 공간 $M = ℝ^{3}$ 속의 2차원 곡면 $Σ$ 에 대하여 주어진다. 곡면에 좌표 $ξ = (ξ^{1}, ξ^{2})$ 를 주었을 때, $Σ$ 는 $𝐟 (ξ) \in ℝ^{3}$ 로 주어진다. 이 경우 $Σ$ 의 법선벡터는

\hat{𝐧} (ξ) = \frac{\partial 𝐟 / \partial ξ^{1} \times \partial 𝐟 / \partial ξ^{2}}{‖ \partial 𝐟 / \partial ξ^{1} \times \partial 𝐟 / \partial ξ^{2} ‖}

이다. 이 경우, $Σ$ 의 제2 기본 형식은 다음과 같은 2×2 대칭행렬이다.

II = (\begin{matrix} d ξ^{1} & d ξ^{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} L & M \\ M & N \end{matrix}) (\begin{matrix} d ξ^{1} \\ d ξ^{2} \end{matrix}) = \sum_{i, j = 1}^{2} \hat{𝐧} \cdot \frac{\partial^{2} 𝐟}{\partial ξ^{i} \partial ξ^{j}} d ξ^{i} d ξ^{j}

즉, $𝐟$ 의 헤세 행렬과 법선벡터의 내적이다. 행렬 표현에서 기호 $L, M, N$ 은 전통적이다.

참고 문헌

원대연; 이난이 (2014). 《미분기하학 입문》. 경문사. ISBN 978-89-6105-780-6. 2014년 5월 12일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 5월 11일에 확인함.
Guggenheimer, Heinrich (1977). 《Differential geometry》 (영어). Dover. ISBN 0-486-63433-7.
Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996). 《Foundations of differential geometry, volume 2》 New판 (영어). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15732-5.
Spivak, Michael (1999). 《A comprehensive introduction to differential geometry, volume 3》 (영어). Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.

같이 보기

외부 링크

“Second fundamental form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Second fundamental form” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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