직교 여원 격자

순서론에서 직교 여원 격자(直交餘元格子, 영어: orthocomplemented lattice, ortholattice)는 불 대수와 유사한 여원 연산을 갖는 유계 격자이다. 그러나 불 대수와 달리 분배 격자일 필요가 없으며, 심지어 모듈러 격자도 아닐 수 있다.

정의

순서 반대 보존성의 동치 조건

유계 격자 $(L, \land, \lor, ⊤, ⊥)$ 위의 함수 $\neg : L \to L$ 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

(순서 반대 보존) 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x \leq y$ 라면 $\neg x \geq \neg y$
(드 모르간 법칙 1) 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $\neg (x \land y) = \neg x \lor \neg y$
(드 모르간 법칙 2) 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $\neg (x \lor y) = \neg x \land \neg y$

증명:

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 1: 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여,

x \land y \leq x

x \land y \leq y

이므로

\neg (x \land y) \geq \neg x

\neg (x \land y) \geq \neg y

이다. 따라서, 상한의 정의에 따라

\neg (x \land y) \geq \neg x \lor \neg y

이다.

순서 반대 보존 ⇒ 드 모르간 법칙 2: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

드 모르간 법칙 1 ⇒ 순서 반대 보존: 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x \leq y$ 라고 하자. 그렇다면,

x = x \land y

이므로

\neg x = \neg (x \land y) = \neg x \lor \neg y

이다. 따라서

\neg x \geq \neg y

이다.

드 모르간 법칙 2 ⇒ 순서 반대 보존: 위의 경우를 쌍대화하면 된다.

직교 여원 격자

유계 격자 $(L, \land, \lor, ⊤, ⊥)$ 위의 직교 여원(直交餘元, 영어: orthocomplementation) $\neg : L \to L$ 은 다음 네 조건들을 만족시키는 함수이다.^[1]^{:52, §II.14}^[2]^:§2

(대합) 임의의 $x \in L$ 에 대하여, $\neg \neg x = x$
(순서 반대 보존) 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x \leq y$ 라면 $\neg x \geq \neg y$
(배중률) 임의의 $x \in L$ 에 대하여, $\neg x \lor x = ⊤$
(비모순율) 임의의 $x \in L$ 에 대하여, $\neg x \land x = ⊥$

직교 여원 격자(영어: orthocomplemented lattice)는 직교 여원이 부여된 격자이다. 이들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 두 직교여원 격자 사이의 직교 여원 격자 사상(영어: orthocomplemented lattice morphism) $f : L \to L^{'}$ 은 다음 조건들을 만족시키는 함수이다.

격자 사상이다. 즉, 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여 $f (x \land y) = f (x) \land f (y)$ 이며, $f (x \lor y) = f (x) \lor f (y)$ 이다.
임의의 $x \in L$ 에 대하여 $f (\neg x) = \neg f (x)$ 이다.

이 경우, 임의의 $x \in L$ 에 대하여

f (⊤) = f (x \lor \neg x) = f (x) \lor \neg f (x) = ⊤

f (⊥) = f (x \land \neg x) = f (x) \land \neg f (x) = ⊥

이므로 이는 자동적으로 유계 격자 사상이 된다.

가환성

직교 여원 격자 $L$ 에서, 두 원소 $x, y \in L$ 가 다음 조건을 만족시키면 $x$ 가 $y$ 와 가환한다(영어: commute)고 한다.^[1]^{:52, §II.14}^[2]^:§2

x = (x \land y) \lor (x \land \neg y)

이는 $x 𝖢 y$ 로 표기한다.

가환 관계는 일반적으로 대칭 관계가 아니다. 즉, $x 𝖢 y$ 이라면 $y 𝖢 x$ 일 필요는 없다.

직교 여원 격자 $L$ 의 두 원소 $x, y \in L$ 에 대하여, $x \leq y$ 라면 $x 𝖢 y$ 이다.^[1]^{:52, Lemma II.14.1}

직교모듈러 격자

파일:Expanded 2-simplex.png

육각형 격자의 하세 도형

직교 여원 격자 $L$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 직교모듈러 격자(영어: orthomodular lattice)라고 한다.

임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x \leq y$ 이라면 $y 𝖢 x$ 이다 (즉, $x \lor (\neg x \land y) = y$ 이다).^[2]^:§2^[1]^{:53, Theorem II.21}
임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x \lor (\neg x \land (x \lor y)) = x \lor y$ 이다.^[2]^:§2
가환 관계는 대칭 관계이다. 즉, 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x 𝖢 y$ 이라면 $y 𝖢 x$ 이다.^[2]^{:Proposition 2.2(2)}^[1]^{:53, Theorem II.21}
임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x 𝖢 y$ 이라면 $\neg x 𝖢 y$ 이다.^[2]^{:Proposition 2.2(3)}
임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $x \leq y$ 이자 $\neg x \land y = ⊥$ 이라면 $x = y$ 이다.^[2]^{:Proposition 2.1(2)}^[1]^{:54, Exercise II.14.7(i)}
임의의 $x, y, z \in L$ 에 대하여, $x \leq y \leq z$ 라면 $x \lor (\neg y \land z) = (x \lor \neg y) \land z$ 이다.^[1]^{:54, Exercise II.14.7(ii)}
육각형 격자를 부분 격자로 갖지 않는다.^[2]^{:Proposition 2.1(3)}

여기서 육각형 격자(영어: hexagon lattice)는 다음과 같은 유계 격자이다.

L = {⊥, a, b, c, d, ⊤}

⊥ \leq a \leq b \leq ⊤

⊥ \leq c \leq d \leq ⊤

성질

함의 관계

모든 불 대수는 직교 여원 격자이다.

직교여원 격자가 분배 격자일 필요는 없다.

직교 여원 격자 $L$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

불 대수이다.
분배 격자이다.
임의의 원소 $x \in L$ 에 대하여, $c \land x = ⊥$ 이며 $c \lor x = ⊤$ 인 $c \in L$ 가 유일하게 존재한다. (이는 물론 $\neg x$ 이다.)
(엘칸 법칙 영어: Elkan’s law) 임의의 $x, y \in L$ 에 대하여, $\neg (a \land \neg b) = b \lor \neg a \land \neg b$ ^[3]

모든 모듈러 직교 여원 격자는 직교모듈러 격자이지만,^[1]^{:54, Exercise II.14.6} (이름과 달리) 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

유일성

주어진 격자 위에 직교 여원이 유일할 필요는 없다. 다만, 분배 격자 위의 직교 여원은 만약 존재한다면 유일하다.

증명:

분배 격자 $L$ 의 원소 $x, c, c^{'} \in L$ 에 대하여

x \lor c = x \lor c^{'} = ⊤

x \land c = x \land c^{'} = ⊥

라고 하자. 그렇다면

c^{'} = c^{'} \lor ⊤ = c^{'} \land (x \lor c) = (c^{'} \land x) \lor (c^{'} \land c) = ⊥ \lor (c^{'} \land c) = c^{'} \land c

이다. 따라서

c^{'} \leq c

이다. 마찬가지로 $c \leq c^{'}$ 임을 보일 수 있으며, 따라서 $c = c^{'}$ 이다.

직교 여원을 갖는 분배 격자를 불 대수라고 한다.

범주론적 성질

직교 여원 격자와 직교 여원 격자 준동형의 구체적 범주 $OLat$ 는 대수 구조 다양체의 범주이므로 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 자유 대상이 존재한다.

예

양자 논리

힐베르트 공간 $ℋ$ 의 부분 벡터 공간들은 포함 관계에 대하여 유계 격자를 이룬다. 이 경우, 직교여원

\neg V = V^{⊥} = {u \in ℋ : \forall v \in V : u ⊥ v}

을 정의하면, 이는 직교모듈러 격자를 이룬다. "직교 여원"이라는 용어는 이에서 비롯하였다. 이 사실은 양자 논리에서 중요한 역할을 한다.

대합환

$(R,^{*})$ 가 대합환이라고 하자. 그렇다면,

L = {r \in R : r = r^{*} = r^{2}}

r \leq s ⟺ r = r s (r, s \in L)

\neg r = 1 - r (r, s \in L)

로 놓으면, $L$ 은 직교모듈러 격자를 이룬다.^[1]^{:54, Exercise II.14.11(a,b)} 또한, 이 경우

\forall r, s \in L : x y = y x ⟺ x 𝖢 y

이다.^[1]^{:54, Exercise II.14.11(c)} 즉, 환으로서의 가환성 개념이 직교 여원 격자로서의 가환성 개념과 일치한다.

참고 문헌

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Birkhoff, Garrett (1967). 《Lattice theory》 3판 (영어). AMS Colloquium Publications 25. American Mathematical Society. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Bruns, Gunter; Harding, John (2000). 〈Algebraic aspects of orthomodular lattices〉 (PDF) (영어). Coecke, Bob; Moore, David; Wilce, Alexander (편집). 《Current research in operational quantum logic: algebras, categories, languages》. Fundamental Theories of Physics 111. Springer-Verlag. 37–65쪽. doi:10.1007/978-94-017-1201-9_2. ISSN 0168-1222. 2008년 4월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 6일에 확인함.
↑ 近藤溢血 (こんどうみちろう) (2006). “On orthocomplemented lattices with Elkan’s law” (PDF) (영어). 《数理解析研究所講究録》 1503: 10–16. |저자=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)

외부 링크

“Lattice with complements” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Ockham algebra” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Orthomodular lattice” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Complemented lattice” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Uniquely complemented lattice” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Orthomodular lattice” (영어). 《nLab》.
“Complemented lattice” (영어). 《nLab》.
Jipsen, Peter. “Ortholattices” (영어). 《Mathematical Structures》.
Jipsen, Peter. “Complemented lattices” (영어). 《Mathematical Structures》.
Jipsen, Peter. “Complemented modular lattices” (영어). 《Mathematical Structures》.
Jipsen, Peter. “Orthomodular lattices” (영어). 《Mathematical Structures》.
Jipsen, Peter. “Modular ortholattices” (영어). 《Mathematical Structures》.
Armstrong, John (2009년 5월 7일). “Orthogonal complements and the lattice of subspaces” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》.

[Birkhoff-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Birkhoff, Garrett (1967). 《Lattice theory》 3판 (영어). AMS Colloquium Publications 25. American Mathematical Society. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[BH-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Bruns, Gunter; Harding, John (2000). 〈Algebraic aspects of orthomodular lattices〉 (PDF) (영어). Coecke, Bob; Moore, David; Wilce, Alexander (편집). 《Current research in operational quantum logic: algebras, categories, languages》. Fundamental Theories of Physics 111. Springer-Verlag. 37–65쪽. doi:10.1007/978-94-017-1201-9_2. ISSN 0168-1222. 2008년 4월 18일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 6일에 확인함.

[3] 近藤溢血 (こんどうみちろう) (2006). “On orthocomplemented lattices with Elkan’s law” (PDF) (영어). 《数理解析研究所講究録》 1503: 10–16. |저자=에 templatestyles stripmarker가 있음(위치 1) (도움말)

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