칸 확대

범주론에서 칸 확대(Kan擴大, 영어: Kan extension)는 어떤 함자의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다.

정의

대역적 칸 확대

범주 $𝒞$, ${𝒞}^{\prime }$ 및 함자

$F:𝒞\to {𝒞}^{\prime }$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $F$와의 합성은 임의의 범주 $𝒟$에 대하여, 두 함자 범주 사이의 함자

$F^{*}:[{𝒞}^{\prime },𝒟]\to [𝒞,𝒟]$

$F^{*}:X\mapsto X\circ F$

를 정의한다. 만약 $F^{*}$가 왼쪽 수반 함자

$F_{!}⊣F^{*}$

를 갖는다면, 임의의 함자 $X:𝒞\to 𝒟$에 대하여 함자 $F_{!}(X):{𝒞}^{\prime }\to 𝒟$를 $X$의 $F$에 대한 왼쪽 칸 확대(영어: left Kan extension)라고 한다. 왼쪽 칸 확대는 ${\mathrm{Lan}}_{F}X$로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 $Y:{𝒞}^{\prime }\to 𝒟$에 대하여 자연 동형

${\mathrm{hom}}_{[𝒞,𝒟]}(X,F^{*}Y)\cong {\mathrm{hom}}_{[{𝒞}^{\prime },𝒟]}({\mathrm{Lan}}_{F}X,Y)$

이 존재한다.

마찬가지로, 만약 $F^{*}$가 오른쪽 수반 함자

$F^{*}⊣F_{*}$

를 갖는다면, 임의의 함자 $X:𝒞\to 𝒟$에 대하여 함자 $F_{*}(X):{𝒞}^{\prime }\to 𝒟$를 $X$의 $F$에 대한 오른쪽 칸 확대(영어: right Kan extension)라고 한다. 오른쪽 칸 확대는 ${\mathrm{Ran}}_{F}X$로 표기하기도 한다. 수반 함자의 정의에 따라, 임의의 다른 함자 $Y:{𝒞}^{\prime }\to 𝒟$에 대하여 자연 동형

${\mathrm{hom}}_{[𝒞,𝒟]}(F^{*}Y,X)\cong {\mathrm{hom}}_{[{𝒞}^{\prime },𝒟]}(Y,{\mathrm{Ran}}_{F}X)$

이 존재한다.

국소 칸 확대

위에서 정의된 함자 ${\mathrm{Lan}}_F$ 및 ${\mathrm{Ran}}_F$가 일반적으로 존재하지 않더라도, 특별한 함자 $X$에 대하여 ${\mathrm{Lan}}_{F}X$ 또는 ${\mathrm{Ran}}_{F}X$가 존재할 수 있다.

이러한 국소 칸 확대(영어: local Kan extension)의 정의는 대역적 칸 확대의 정의를 국소화한 것이다. 즉, $X$의 $F$에 대한 (국소) 왼쪽 칸 확대는 함자

${\mathrm{Lan}}_{F}X:{𝒞}^{\prime }\to 𝒟$

및 자연 동형

${\mathrm{hom}}_{[𝒞,𝒟]}(X,F^{*}(-))\cong {\mathrm{hom}}_{[{𝒞}^{\prime },𝒟]}({\mathrm{Lan}}_{F}X,-)$

으로 구성된다. 마찬가지로, $X$의 $F$에 대한 (국소) 오른쪽 칸 확대는 함자

${\mathrm{Ran}}_{F}X:{𝒞}^{\prime }\to 𝒟$

및 자연 동형

${\mathrm{hom}}_{[𝒞,𝒟]}(F^{*}Y,X)\cong {\mathrm{hom}}_{[{𝒞}^{\prime },𝒟]}(Y,{\mathrm{Ran}}_{F}X)$

으로 구성된다.

예

극한

$1$이 하나의 대상 및 그 항등 사상만을 갖는 범주라고 하자. 그렇다면, 임의의 함자 $X:𝒞\to 𝒟$에 대하여, $X$의 $𝒞\to 1$에 대한 오른쪽 칸 확대는 $X$의 극한이며, 왼쪽 칸 확대는 $X$의 쌍대극한이다.

수반 함자

함자 $F:𝒞\to 𝒟$의 왼쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 ${\mathrm{Id}}_{𝒞}$의 $F$에 대한 오른쪽 칸 확대 $F_{*}{\mathrm{Id}}_{𝒞}:𝒟\to 𝒞$와 같다.

$F_{*}{\mathrm{Id}}_{𝒞}⊣F$

함자 $F:𝒞\to 𝒟$의 오른쪽 수반 함자는 (만약 이러한 칸 확대가 존재한다면) 항등 함자 ${\mathrm{Id}}_{𝒟}$의 $F$에 대한 왼쪽 칸 확대 $F_{!}{\mathrm{Id}}_{𝒟}:𝒟\to 𝒞$와 같다.

$F⊣F_{!}{\mathrm{Id}}_{𝒟}$

역사

다니얼 칸이 1960년에 도입하였다. 손더스 매클레인은 칸 확대의 중요성에 대하여 다음과 같이 적었다.

“	모든 개념은 칸 확대이다. […] 칸 확대의 개념은 범주론의 다른 모든 근본적인 개념을 포함한다. All concepts are Kan extensions. […] The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory.	”
	— 손더스 매클레인

외부 링크

• “Kan extension” (영어). 《nLab》.