코시-비네 공식

선형대수학에서 코시-비네 공식(영어: Cauchy-Binet formula)은 정사각 행렬이 아닐 수 있는 두 행렬의 곱의 행렬식을 구하는 공식이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

음이 아닌 정수 $m, n, p, k$ . 단, $m, n, p \geq k$
가환환 $R$
$R$ 위의 $m \times n$ 행렬 $M$ 및 $n \times p$ 행렬 $N$
행의 집합 $I \subseteq {1, \dots, m}$ 및 열의 집합 $J \subseteq {1, \dots, p}$ . 단, $| I | = | J | = k$

그렇다면, 다음이 성립한다.

\det ((M N)_{I, J}) = \sum_{K \subseteq {1, \dots, n}}^{| K | = k} \det (M_{I, K}) \det (N_{K, J})

특히, $m = p = k$ 인 경우, 다음이 성립하며, 이를 코시-비네 공식이라고 한다.

\det (M N) = \sum_{K \subseteq {1, \dots, n}}^{| K | = m} \det (M_{{1, \dots, m}, K}) \det (N_{K, {1, \dots, m}})

$m = p = k = 2$ 의 경우는 다음과 같으며, 이를 비네-코시 항등식(영어: Binet-Cauchy identity)이라고 한다.

(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} c_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i} d_{i}) - (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} d_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} b_{i} c_{i}) = \sum_{1 \leq i < j \leq n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i}) (c_{i} d_{j} - c_{j} d_{i})

a_{i}, b_{i}, c_{i}, d_{i} \in R

$m = n = p = k$ 의 경우는 두 정사각 행렬의 곱의 행렬식의 공식이다.

\det (M N) = \det (M) \det (N)

$k = 1$ 의 경우는 행렬 곱셈의 공식이다.

(M N)_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} M_{i k} N_{k j}

전제 조건을 어겨 $n < k$ 라고 하면, 코시-비네 공식이 성립하지 않으며, 대신 다음이 성립한다.

\det ((M N)_{I, J}) \in R ∖ R^{\times}

그러나, $R$ 가 나눗셈환인 경우 코시-비네 공식은 이 경우에도 성립하며, 이는 다음과 같다.

\det ((M N)_{I, J}) = 0

“Cauchy Binet formula” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Binet-Cauchy identity” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Cauchy-Binet formula” (영어). 《PlanetMath》.
“Cauchy-Binet formula” (영어). 《ProofWiki》.
“Binet-Cauchy identity” (영어). 《ProofWiki》.