콜모고로프-아르놀트-모저 정리

해밀턴 역학에서 콜모고로프-아르놀트-모저 정리(Колмогоров-Арнольд-Moser定理, 영어: Kolmogorov–Arnold–Moser theorem, 약자 KAM)는 적분가능계에 충분히 작은 섭동항을 추가하였을 때, 거의 모든 준주기적 해들이 살아남는다는 정리이다.

정의

$2n$차원 심플렉틱 다양체 $(M,\omega )$ 위의 적분가능계의 작용-각도 변수가 $(I^i,{\theta }_i)$라고 하자 ($I^i\in ℝ$, ${\theta }_i\in ℝ/2\pi \mathbb{Z}$). 즉, 해밀토니언 함수 $H_0(I)$는 작용 변수에만 의존하고, 각도 변수에 의존하지 않는다. 이 계의 운동 방정식은

${\dot{I}}^i=0$

${\dot{\theta }}_i={\omega }_{ij}{I}^j$

이며, 따라서 $I^i$들은 운동 상수이며, 계의 ${\theta }_i$에 대한 주기는 $1/(2\pi {\omega }_{ij}{I}^j)$이다. 만약 $I^i$들의 비가 유리수라면 이는 해밀턴 방정식의 주기적 해를 이루며, 무리수라면 이는 해밀턴 방정식의 준주기적(영어: quasiperiodic) 해를 이룬다. 각 $(I^1,\dots ,I^n)$에 대응하는 $n$차원 원환면을 불변 원환면(영어: invariant torus)이라고 한다.

이제, 해밀토니언 함수에 미세한 적분 불가능 섭동을 주자.

$H(I,\theta )=H_0(I)+V(I,\theta )$

그렇다면, 만약 $V$가 충분히 작다면 불변 원환면들이 그대로 유지되는지 물을 수 있다. 콜모고로프-아르놀트-모저 정리는 이 문제에 대한 해답을 제공한다.

구체적으로, 임의의 벡터 $𝐯\in {ℝ}^n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 상수 $a,b>0$가 존재한다면, $v$가 디오판토스 벡터(영어: Diophantine vector)라고 하자.

$\mathrm{\forall }𝐮\in {\mathbb{Z}}^n\setminus \{0\}:|𝐮\cdot 𝐯|\ge a{(|u_1|+\cdots +|u_n|)}^{-b}$

르베그 측도에 대하여 거의 모든 벡터가 디오판토스 벡터임을 보일 수 있다.

콜모고로프-아르놀트-모저 정리에 따르면, 만약 임의의 $(I^0,\dots ,I^n)\in {ℝ}^n$에 대하여

• ${\omega }_{ij}{I}^j$가 디오판토스 벡터이며,
• 헤세 행렬 ${\partial }^2{H}_0/\partial I^i\partial I^j$이 가역 행렬이라면,

충분히 작은 $V$에 대하여, 섭동된 해밀토니언 $H=H_0+V$에 대하여 주기가 ${\omega }_{ij}{I}^j$인 준주기적 해가 존재한다. (만약 $H_0$에 대한 해가 주기적이더라도, $H$에 대한 해는 일반적으로 준주기적이다.)

여기서 "충분히 작은 $V$에 대하여"는 구체적으로 다음과 같은 뜻이다.

$V:{ℝ}^n\times {ℝ}^n\to ℝ$

$V:(I^i,{\theta }_i)\mapsto V(I,\theta )$

가 $\{(I^1,\dots ,I^n)\}\times {ℝ}^n$의 복소수 닫힌 근방

$\{(I^1,\dots ,I^n)\}\times {ℝ}^n\subset U\subset \overline{U}\subset {ℂ}^n\times {ℂ}^n$

으로 해석적 연속될 수 있다고 하고,

$\Vert V\Vert =\underset{x\in \overline{U}}{\sup }|V(x)|$

라고 할 때, $\Vert V\Vert <ϵ(a,b)$이라면 $(a,b)$-디오판토스 벡터에 대하여 준주기적인 해가 존재하게 되는 양의 실수 $ϵ(a,b)\in {ℝ}^{+}$이 존재한다. (이 실수는 디오판토스 벡터의 정의에서의 상수 $(a,b)$에 의존한다.)

역사

안드레이 콜모고로프 · 블라디미르 아르놀트 · 위르겐 모저 가 증명하였다.

같이 보기

• 에르고딕 이론

각주

• Arnold, Vladimir Igorevich (1989). 《Mathematical Methods of Classical Mechanics》 (영어). Springer. ISBN 0-387-96890-3. 
• Rangarajan, Govindan (1998년 4월). “Kolmogorov-Arnold-Moser theorem: Can planetary motion be stable?” (영어) 3 (4): 43–53. doi:10.1007/BF02834611. ISSN 0971-8044. 
• Pöschel, Jürgen (2001). 〈A lecture on the classical KAM theorem〉 (PDF) (영어). 《Smooth ergodic theory and its applications》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 69. American Mathematical Society. 707–732쪽. ISBN 978-0-8218-2682-9. 
• de la Llave, Rafael (2001). 〈A tutorial on KAM theory〉 (영어). 《Smooth ergodic theory and its applications》. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 69. American Mathematical Society. 707–732쪽. ISBN 978-0-8218-2682-9. 
• Cherchia, Luigi; Mather, John N. “Kolmogorov-Arnold-Moser Theory” (영어). 《Scholarpedia》 5 (9): 2123. doi:10.4249/scholarpedia.2123. ISSN 1941-6016. 
• Dumas, H. Scott (2014). 《The KAM story: a friendly introduction to the content, history, and significance of classical Kolmogorov–Arnold–Moser Theory》 (영어). World Scientific Publishing. doi:10.1142/8955. ISBN 978-981-4556-58-3. 
• Wayne, C. Eugene (1996). 〈An introduction to KAM theory〉 (PDF) (영어). 《Dynamical systems and probabilistic methods in partial differential equations》. Lectures in Applied Mathematics 31. American Mathematical Society. 29쪽. ISBN 978-0-8218-0368-4. 
• Broer, Henk W. (2004). “KAM theory: the legacy of Kolmogorov’s 1954 paper” (영어). 《Bulletin of the American Mathematical Society》 41 (4): 507–521. doi:10.1090/S0273-0979-04-01009-2. ISSN 0273-0979. 

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Kolmogorov-Arnold-Moser theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.