텐서 대수

선형대수학에서 텐서 대수(tensor代數, 영어: tensor algebra)는 어떤 벡터 공간 또는 가군 위의 원소들로부터 생성되는 비가환 다항식들로 구성되는 등급 단위 결합 대수이다.

정의

가환환 $K$ 위의 가군 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $V$ 위의 텐서 대수 $\mathrm{T}(V)$는 다음과 같은 $K$ 위의 등급 가군이다.

$\mathrm{T}(V)=\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}\stackrel{n}{\overbrace{V{\otimes }_{K}V{\otimes }_K\cdots {\otimes }_{K}V}}=K\oplus V\oplus V{\otimes }_{K}V\oplus \cdots$

${\mathrm{T}}^n(V)=\stackrel{n}{\overbrace{V{\otimes }_{K}V{\otimes }_K\cdots {\otimes }_{K}V}}$

이 위에는 다음과 같은 자연스러운 쌍선형 이항 연산이 존재한다.

$\otimes :{\mathrm{T}}^m(V)\times {\mathrm{T}}^n(V)\to {\mathrm{T}}^{m+n}(V)$

$\otimes :((u_1\otimes \cdots \otimes u_m),(v_1\otimes \cdots \otimes v_n))\mapsto u_1\otimes \cdots u_m\otimes v_1\otimes \cdots \otimes v_n\in {\mathrm{T}}^{m+n}(V)$

이는 결합 법칙을 만족시키고, 또 항등원 $1_K\in K={\mathrm{T}}^0(V)$을 갖는다. 따라서, 텐서 대수는 $K$ 위의 단위 결합 대수를 이룬다.

호프 대수 구조

텐서 대수 $\mathrm{T}(V)$ 위에는 다음과 같이 호프 대수의 구조가 존재한다. 여기서 $\Delta$는 쌍대곱, $S$는 앤티포드이다.

$\Delta (v_1\otimes \dots \otimes v_m)=\sum _{p=0}^m\sum _{\sigma \in \mathrm{Sh}(p,m-p)}(v_{\sigma (1)}\otimes \dots \otimes v_{\sigma (p)})\otimes (v_{\sigma (p+1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma (m)})$

$S(v_1\otimes \dots \otimes v_m)=(-1{)}^m{v}_m\otimes \cdots \otimes v_1$

여기서 $\mathrm{Sh}(p,m-p)\subseteq \mathrm{Sym}(p)$는 $(p,m-p)$-셔플 순열의 집합이다.

비가환 다항식 대수

집합 $\{x_i{\}}_{i\in I}$에 의하여 생성되는, 가환환 $K$ 위의 자유 단위 결합 대수는 자유 가군 $K^{\oplus |I|}$ 위의 텐서 대수와 같으며, 비가환 다항식 대수(영어: noncommutative polynomial algebra)라고 하며, 기호로는 다음과 같이 쓴다.

$K⟨x_i{⟩}_{i\in I}=\mathrm{T}(K^{\oplus |I|})$

비가환 다항식 대수의 원소들은 다항식환 (자유 가환 단위 결합 대수) $K[x_i{]}_{i\in I}$과 유사하지만, $i\ne j$라면 $x_i{x}_j\ne x_j{x}_i$이다.

같이 보기

• 대칭 대수
• 외대수

참고 문헌

• Lang, Serge (2002). 《Algebra》 3판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 211. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 

외부 링크

• “Tensor algebra” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.