토렐리 정리

대수기하학에서 토렐리 정리(Torelli定理, 영어: Torelli theorem)는 리만 곡면이 그 야코비 다양체에 의하여 결정된다는 정리다. 즉, 리만 곡면의 모듈라이 공간에서 야코비 다양체로의 사상은 단사 함수이다. K3 곡면과 칼라비-야우 다양체의 경우에도 유사한 정리가 존재한다.

정의

종수가 $g$인 리만 곡면들의 모듈러스 공간 ${ℳ}_g$는 ($g>1$인 경우) $3g-3$차원 복소 공간이다. $g$차원 복소 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간

${𝒜}_g\cong \mathrm{Sp}(2g;\mathbb{Z})\mathrm{\setminus }\mathrm{Sp}(2g;ℝ)/\mathrm{U}(g)$

은 $g(g+1)/2$차원 복소 공간이다. 주기 사상(period mapping)에 의하여, 주어진 종수 $g$의 리만 곡면 ${\Sigma }_g$로부터 그 야코비 다양체

$J({\Sigma }_g)=H^1({\Sigma }_g;ℂ)/H^1({\Sigma }_g;\mathbb{Z})$

를 정의할 수 있다. 야코비 다양체는 $g$차원 아벨 다양체이므로, 이는 리만 곡면 모듈러스 공간 ${ℳ}_g$에서 아벨 다양체 모듈러스 공간 ${𝒜}_g$로 가는 사상

$\iota :{ℳ}_g\to {𝒜}_g$

를 정의한다. 토렐리 정리에 따르면, 이는 단사 함수이다.

예

종수가 $g=0$인 경우, ${ℳ}_0$와 ${𝒜}_0$ 둘 다 하나의 점이므로 토렐리 정리는 자명하다.

$g=1$인 경우,

${ℳ}_0\cong {𝒜}_1\cong ℍ/\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$

이다. (종수 1의 리만 곡면과 1차원 아벨 다양체 둘 다 타원 곡선이다.) 이 경우 주기 사상은 단사 함수일 뿐만 아니라 전단사 함수이다.

종수가 $g=2,3$인 경우에도 $\dim {ℳ}_g=\dim {𝒜}_g$이다. 이 경우, $\iota ({ℳ}_g)\subset {𝒜}_g$의 폐포는 ${𝒜}_g$ 전체이다.

종수가 $g\ge 4$인 경우 $\dim {ℳ}_g<\dim {𝒜}_g$이다. 이 경우, $\iota ({ℳ}_g)\subset {𝒜}_g$는 진부분집합이며, 이를 결정짓는 문제를 숏키 문제(영어: Schottky problem)라고 한다.

역사

루제로 토렐리(이탈리아어: Ruggiero Torelli)가 1913년 증명하였다.

외부 링크

• Kulikov, Val. S. (2001). “Torelli theorems” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.