파인만의 슬래시 기법

양자장론에서 파인만의 슬래시 기법 ( Feynman slash notation ) 은 디랙 장의 연구에서 파인만에 의해 도입된 사차원 벡터와 감마 행렬 γ 의 축약를 나타내는 표기법이다:

$A/\equiv {\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }={\gamma }_{\mu }{A}^{\mu }$ .

여기서 A_μ 는 공변 벡터, A^μ 는 반변 벡터이며 아인슈타인 표기법을 사용하고 있다. $A/$ 는 「A슬래시」라고 읽는다.

항등식

감마 행렬의 반교환 관계 {γ^μ, γ^ν} = 2g^μν 를 사용함으로써 임의 벡터 a, b 에 대해 다음 항등식이 성립한다.

$\begin{array}{cc}a/a/& \equiv a^{\mu }{a}_{\mu }\cdot I_4=a^2\cdot I_4\\ a/b/+b/a/& \equiv 2a\cdot b\cdot I_4\end{array}$ .

여기서 I₄ 는 4차원 단위 행렬이다.

특히

${\partial /}^2\equiv {\partial }^2\cdot I_4$ .

다음 항등식은 감마 행렬의 성질로부터 계량 텐서와 내적을 지환함으로써 직접 얻어진다. 예를 들면

$\begin{array}{cc}\mathrm{tr}(a/b/)& \equiv 4a\cdot b\\ \mathrm{tr}(a/b/c/d/)& \equiv 4[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)]\\ \mathrm{tr}({\gamma }_{5}a/b/c/d/)& \equiv 4i{ϵ}_{\mu \nu \lambda \sigma }{a}^{\mu }{b}^{\nu }{c}^{\lambda }{d}^{\sigma }\\ {\gamma }_{\mu }a/{\gamma }^{\mu }& \equiv -2a/\\ {\gamma }_{\mu }a/b/{\gamma }^{\mu }& \equiv 4a\cdot b\cdot I_4\\ {\gamma }_{\mu }a/b/c/{\gamma }^{\mu }& \equiv -2c/b/a/\\ \end{array}$

여기서 ε_μνλσ 는 레비 티비타 완전 반대칭 텐서 .

사차원 운동량

디랙 방정식을 사용하여서 산란 단면적을 풀 때 사차원 운동량에 대해 슬래시 기법을 사용한다: 감마 행렬은 다음 디랙 표현을 사용하면

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right),{\gamma }^i=\left(\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i\\ -{\sigma }^i& 0\end{array}\right)$ ,

여기서 σ 는 파울리 행렬이다. 또한 사차원 운동량의 정의:

$p_{\mu }=(E,-p_x,-p_y,-p_z)$

에 따라서, 다음을 얻는다.

$\begin{array}{cc}p/& ={\gamma }^{\mu }{p}_{\mu }={\gamma }^0{p}_0+{\gamma }^i{p}_i\\ & =\left[\begin{array}{cc}{p}_0& 0\\ 0& -p_0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& {\sigma }^i{p}_i\\ -{\sigma }^i{p}_i& 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}E& -\sigma \cdot \overrightarrow{p}\\ \sigma \cdot \overrightarrow{p}& -E\end{array}\right].\end{array}$

가튼 결과는 바일 표현과 같은 다른 표현을 사용하면서도 얻을 수 있다.

참고 문헌

• Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). 《Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics》. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2. Halzen, Francis; Martin, Alan (1984). 《Quarks & Leptons: An Introductory Course in Modern Particle Physics》. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-88741-2. 

같이 보기

• 감마 행렬