절대평탄환

환론에서 절대평탄환(絶對平坦環, 영어: absolutely flat ring) 또는 폰 노이만 정칙환(正則環, 영어: von Neumann regular ring, 약자 VNR환)은 모든 원소가 ‘가역원에 근접하여’ 모든 가군이 평탄 가군이 되는 환이다.

정의

(항등원을 갖는) 환 $R$ 속의 원소 $r\in R$의 약역원(弱逆元, 영어: weak inverse element)은 다음 조건을 만족시키는 원소 $s\in R$이다.

$r=rsr$

만약 $r$가 가역원이라면, 그 약역원은 역원 $s=r^{-1}$ 밖에 없다. 그러나 가역원이 아닌 원소는 여러 개의 약역원들을 가질 수 있다. 특히, 0은 모든 원소를 약역원으로 갖는다. 이 경우, $rs=(rs{)}^2$ 및 $sr=(sr{)}^2$는 멱등원을 이룬다. $r$가 $s$의 약역원이라도, $s$가 $r$의 약역원일 필요는 없다. (예를 들어, 임의의 원소는 0의 약역원이지만, 0을 약역원으로 갖는 원소는 0 밖에 없다.)

(항등원을 갖는) 환 $R$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 절대평탄환 또는 폰 노이만 정칙환이라고 한다.

• $R$의 모든 왼쪽 가군은 평탄 왼쪽 가군이다.
• $R$의 모든 오른쪽 가군은 평탄 오른쪽 가군이다.
• $R$의 모든 원소는 (적어도 하나 이상의) 약역원을 갖는다.
• $R$의 모든 주 왼쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 $r\in R$에 대하여, $Rr=Re$이며 $e=e^2$인 원소 $e\in R$가 존재한다.
• $R$의 모든 주 오른쪽 아이디얼은 어떤 멱등원에 의하여 생성된다. 즉, 임의의 원소 $r\in R$에 대하여, $rR=eR$이며 $e=e^2$인 원소 $e\in R$가 존재한다.

성질

가환환에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 절대평탄환이다.
• 그 위의 모든 단순 가군이 단사 가군이다.

함의 관계

절대평탄환인 정역은 체 밖에 없다. 모든 나눗셈환은 절대평탄환이다.

불 대수는 (가환환으로 간주하였을 때) 절대평탄환이다. (이는 불 대수에서 모든 원소가 멱등원이기 때문이다.)

연산에 대한 닫힘

절대평탄환 $K$와 자연수 $n$에 대하여, 행렬환 $\mathrm{Mat}(n;K)$은 역시 절대평탄환이다.

역사

이 개념은 존 폰 노이만이 ‘정칙환’(영어: regular ring)이라는 이름으로 1936년에 도입하였다. 그러나 그 뒤 ‘정칙환’이라는 용어는 다른 뜻으로 쓰이게 되었으며, 혼동을 피하기 위하여 ‘폰 노이만 정칙환’(영어: regular ring in the sense of von Neumann, von Neumann regular ring) 또는 ‘절대평탄환’(영어: absolutely regular ring) 등의 용어로 대체되었다.

외부 링크

• “Regular ring (in the sense of von Neumann)” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Barile, Margherita. “Von Neumann regular ring” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Sharifi, Yaghoub (2010년 10월 22일). “von Neumann Regular rings (1)” (영어). 《Abstract Algebra》. 
• Sharifi, Yaghoub (2010년 10월 22일). “von Neumann Regular rings (2)” (영어). 《Abstract Algebra》. 
• Sharifi, Yaghoub (2010년 10월 31일). “von Neumann Regular rings (3)” (영어). 《Abstract Algebra》.