환의 표수

환론에서, (1을 갖춘) 환의 표수(標數, characteristic)는 그 환이 부분환으로 포함하는 순환환 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$의 크기 $n$이다. 만약 $\mathbb{Z}$를 부분환으로 포함할 경우, 환의 표수는 0으로 정의한다.

정의

$R$가 (1을 갖춘) 환이라고 하자. 정수환 $\mathbb{Z}$는 환의 범주 $\mathrm{Ring}$의 시작 대상이므로, 유일한 환 준동형 $\mathbb{Z}\to R$이 존재한다. 이 준동형의 핵은 $\mathbb{Z}$의 아이디얼이며, $(n)$ ($n=0,1,2,\dots$)의 꼴이다. 이 음이 아닌 정수 $n$을 환 $R$의 표수라고 한다.

표수가 0이 아닌 환 $R$는 순환환 $\mathbb{Z}/(n)=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$를 부분환으로 가진다. 표수가 0인 환은 정수환 $\mathbb{Z}/(0)=\mathbb{Z}$를 부분환으로 가진다. 즉, $1\in R$이라고 하면, 환의 표수는

$\underset{n}{\underbrace{1+\cdots +1}}=0$

인 가장 작은 양의 정수다. 만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면 환의 표수는 0이다.

유사환의 표수

유사환 $R$의 표수는 다음과 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$이다.

$nr=\stackrel{n}{\overbrace{r+\cdots +r}}=0\mathrm{\forall }r\in R$

만약 이러한 양의 정수가 존재하지 않는다면, $R$의 표수는 0이다.

이렇게 정의한 유사환의 표수는 환의 표수와 일치한다. 이 정의는 유사환의 덧셈군 구조에만 의존하며, 따라서 일반적인 아벨 군에 대해서도 정의할 수 있다. 아벨 군의 원소들의 차수는 최소공배수에 대하여 닫혀 있으므로, (유사)환의 표수는 그 덧셈군의 원소들의 최대 차수와 같다. (만약 원소의 차수들의 상한이 존재하지 않는다면 표수는 0이다.)

성질

두 환 $R$, $S$ 사이에 환 준동형 $R\to S$가 적어도 하나 이상 존재한다면, 항상

$\mathrm{char}S\mid \mathrm{char}R$

이다. 즉, $S$의 표수는 $R$의 표수의 약수이다. 특히, $R$와 $S$가 체인 경우, 체의 표수는 소수이므로 $\mathrm{char}S=\mathrm{char}R$이어야 한다.

모든 소환(특히, 모든 정역 · 체 · 나눗셈환)의 표수는 0이거나 아니면 소수이다. (이는 소환의 중심은 정역이고, 정역의 분수체는 체이며, 중심을 취하는 것과 분수체를 취하는 것은 표수를 바꾸지 않는 연산이기 때문이다.) 모든 순서체의 표수는 0이다.

표수가 소수 $p$인 유사환 $R$에서, 다음과 같은 분배 법칙이 성립하며, 이를 신입생의 꿈(新入生-, 영어: freshman’s dream)이라고 한다.

$(r+s{)}^p=r^p+s^p\mathrm{\forall }r,s\in R$

이는 자명하지 않는 이항 계수들이 모두 $p$의 배수이므로 사라지게 되기 때문이다. 이 이름은 이 항등식이 신입생이나 저지를 수 있는 흔한 "실수"처럼 보이기 때문이다.

예

유사환 $R$의 단위화 $\hat{R}$의 표수는 항상 0이다.

환 $R$ 및 모노이드 $M$에 대하여, 모노이드 환 $R[M]$의 표수는 $R$의 표수와 같다.

$\mathrm{char}R[M]=\mathrm{char}R$

모든 유한체의 표수는 소수이며, 유한체의 크기는 그 표수의 거듭제곱이다. 즉, 다음과 같다.

$\mathrm{char}{𝔽}_{p^n}=p$

체 $K$의 표수와, 그 대수적 폐포의 표수는 같다.

$\mathrm{char}\overline{K}=\mathrm{char}K$

참고 문헌

• Dummit, D. S., Foote, R. M. (1998). 《Abstract Algebra》 2판. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall. 422쪽.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)

외부 링크

• “Characteristic of a field” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Field characteristic” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Characteristic” (영어). 《nLab》. 
• “Positive characteristic” (영어). 《nLab》. 

같이 보기

• 프로베니우스 사상