표준 선다발

대수기하학에서 표준 선다발(標準線다발, 영어: canonical line bundle) 또는 표준 선속(標準線束)은 켈러 미분의 층의 최고차 외부 거듭제곱이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 위의 $n$ 차원 비특이 대수다양체 $X$ 의 표준 선다발 $ω_{X}$ 은 다음과 같은 가역층이다.^[1]^:180–181

ω_{X} = ⋀^{n} Ω_{X / k}

여기서 $Ω_{X / k}$ 는 켈러 미분층이다. 표준 선다발에 대응하는 인자류를 표준류(標準類, 영어: canonical class)라고 하고, 표준류에 속하는 인자를 표준 인자(標準因子, 영어: canonical divisor) $K_{X}$ 라고 한다.

만약 $X$ 가 특이점을 가지지만 정규 대수다양체인 경우, 매끄러운 궤적(영어: smooth locus) $U \subset X$ 가 존재한다. 이 경우, $X$ 의 표준 인자는 $U$ 의 표준 인자로 정의한다. 보다 일반적으로, $X$ 가 S₂ 조건(여차원 2까지 코언-매콜리 조건이 성립)을 만족시키며 고런스틴 스킴이라면, 위와 같이 표준 인자를 정의할 수 있다.

표준 선다발의 역을 반표준 선다발(反標準線다발, 영어: anticanonical line bundle) $ω_{X}^{- 1}$ 이라고 한다. 반표준류(反標準類, 영어: anticanonical class) 및 반표준 인자(反標準因子, 영어: anticanonical divisor)는 이에 대응하는 인자(류)이다.

첨가 공식

첨가 공식(添加公式, 영어: adjunction formula)은 어떤 부분 대수다양체의 표준 선다발과 전체 공간의 표준 선다발 사이의 관계를 나타내는 공식이다.

비특이 대수다양체 $X$ 위의 인자 $D$ 에 대하여, 다음과 같은 첨가 공식이 성립한다.

K_{D} = (K_{X} + D) |_{D}

즉, 선다발로는 다음과 같다. $D$ 로 정의되는 부분다양체를 $Y$ , 매장 사상을 $ι : Y ↪ X$ 라고 하면, 다음과 같다.

𝒦_{Y} = ι^{*} (𝒦_{X} \otimes 𝒪 (D))

여차원이 2 이상일 경우에도 유사한 첨가 공식이 성립한다. 비특이 대수다양체 $X$ 의 닫힌 비특이 부분 대수다양체 $ι : Y ↪ X$ 가 주어졌고, 이에 대응하는 아이디얼 층이 $ℐ$ 라고 하자. 이 경우, $ℐ / ℐ^{2}$ 는 $Y$ 의 자리스키 쌍대법다발이다. 이 경우, 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.^[1]^:182

0 \to ℐ / ℐ^{2} \to ι^{*} T^{*} X \to T^{*} Y \to 0

여기서 $T^{*}$ 는 공변접다발이다. 완전열의 모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^[2]^:146–147^[1]^{:182, Proposition II.8.20}

𝒦_{Y} = ι^{*} 𝒦_{X} \otimes {(\det (ℐ / ℐ^{2}))}^{\lor}

여기서 $(-)^{\lor}$ 는 쌍대 다발을 뜻한다.

예

복소수체 위의 $n$ 차원 비특이 대수다양체의 경우, 표준 선다발은 행렬식 다발(영어: determinant bundle)이라고 하며, $n$ 차 정칙 미분 형식들의 선다발이다. (단일 연결) 칼라비-야우 다양체의 경우, 표준 선다발은 자명하다. 파노 다양체의 경우, 반표준 선다발은 풍부한 선다발이다.

리만 곡면의 표준 선다발

리만 곡면(=1차원 복소수 비특이 대수다양체) $C$ 위의 표준 선다발은 정칙 공변접다발 $Ω_{C}$ 와 같으며, 그 차수는 다음과 같다.

\deg ω_{C} = 2 g - 2 = - χ (C)

특히, $g \geq 2$ 인 경우 이는 효과적 인자를 이룬다. 이 경우, $ω_{C}$ 의 $g$ 개의 단면들은 유리 사상 $C \to ℙ_{ℂ}^{g - 1}$ 을 정의한다. 이 유리 사상의 상은 사영 곡선을 이루며, 이를 표준 곡선(영어: canonical curve)이라고 한다.

만약 $C$ 가 초타원 곡선일 경우, 그 표준 곡선은 유리 곡선이며, 유리 사상은 두 겹 피복 공간을 이룬다. 예를 들어, $C$ 의 종수가 2이며, $C$ 가 다음과 같은 (아핀) 방정식으로 정의된다고 하자.

y^{2} = P (x)

여기서 $P$ 는 6차 다항식이다. 그렇다면, 이 위의 제1종 미분(=(1,0)차 복소수 미분 형식)은 다음과 같이 두 개가 있다.

\frac{1}{\sqrt{P (x)}} d x, \frac{x}{\sqrt{P (x)}} d x

이에 따라서, 표준 곡선은

(x, y) \mapsto x \in ℙ_{ℂ}^{1}

임을 알 수 있다. 이는 물론 두 겹 피복 공간이다.

만약 $C$ 가 초타원 곡선이 아닌 종수 3 이상의 곡선일 경우, $C$ 의 표준 곡선은 $C$ 와 동형이다. 예를 들어, 다음과 같다.

종수 3인 경우, 표준 곡선은 4차 평면 곡선이다.
종수 4인 경우, 표준 곡선은 2차 곡면과 3차 곡면의 교집합이다.
종수 5인 경우, 표준 곡선은 세 개의 2차 초곡면의 교집합이다.

사영 공간

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 사영 공간 $ℙ_{K}^{n}$ 에 대하여, 다음과 같은 짧은 완전열이 존재한다.^[1]^{:176, Theorem II.8.13} 이를 오일러 완전열이라고 한다.

0 \to Ω_{ℙ_{K}^{n}}^{1} \to 𝒪_{ℙ_{K}^{n}} (- 1)^{\oplus (n + 1)} \to 𝒪_{ℙ_{K}^{n}} (0) \to 0

모든 항에 최고차 외부 거듭제곱을 취하면, 다음을 얻는다.^[1]^{:182, Example II.8.20.1}

ω_{ℙ_{K}^{n}} = 𝒪_{ℙ_{K}^{n}} (- n - 1)

사영 공간 속의 초곡면

$n$ 차원 사영 공간 $ℙ^{n}$ 속에서, 동차다항식들 $P_{i}$ 으로 정의되는 초곡면 $Y_{i} ↪ ℙ^{n}$ 들의 완전 교차(영어: complete intersection)

Y = ⋂_{i = 1}^{codim Y} Y_{i}

를 생각하자. 이 경우,

ω_{ℙ^{n}} = 𝒪 (- n - 1)

𝒪 (Y_{i}) = \deg P_{i}

이므로, 첨가 공식에 따라서 $Y$ 의 표준 선다발은 다음과 같다.

ω_{Y} = 𝒪 (\sum_{i} \deg P_{i} - n - 1)

만약

\sum_{i} \deg P_{i} = n + 1

이라면 표준 선다발은 자명하며, 이 경우 (비특이 대수다양체라면) $Y$ 는 칼라비-야우 다양체를 이룬다.

특히, 사영 평면 속의 $d$ 차 대수 곡선 $C \subset ℙ^{2}$ 의 표준 선다발은 다음과 같다.^[1]^{:361, Example V.1.5.1; 183, Example II.8.20.3}

ω_{C} = 𝒪 (d - 3)

$d$ 차 평면 대수 곡선의 경우

\deg 𝒪 (1) = d

이므로,

\deg ω_{C} = d (d - 3)

이다. 리만-로흐 정리에 따라서

\deg ω_{C} = 2 g - 2 = - χ (Σ)

이므로, 다음과 같은 종수-차수 공식(種數次數公式, 영어: genus–degree formula)을 얻는다.

g = \frac{1}{2} (d - 1) (d - 2)

이차 곡면 위의 곡선의 종수

첨가 공식을 사용하여 이차 곡면 $ℙ^{1} \times ℙ^{1}$ 속의 곡선의 종수를 계산할 수 있다.^[1]^{:362, Example V.1.5.2} 곡선 $C$ 의 차수가 $(d_{1}, d_{2})$ 라고 하자. $ℙ^{1} \times ℙ^{1}$ 의 표준 선다발의 차수는 $(- 2, - 2)$ 이다. 즉, $C$ 의 차수는 $(d_{1} - 2, d_{2} - 2)$ 와 $(d_{1}, d_{2})$ 의 교차곱이다. 이차 평면 위의 교차곱은 다음과 같다.^[1]^{:361, Example V.1.4.3}

(a, b) . (c, d) = a d + b c

따라서, 다음이 성립한다.

2 g - 2 = d_{1} (d_{2} - 2) + d_{2} (d_{1} - 2)

즉,

g = d_{1} d_{2} - d_{1} - d_{2} + 1

이다.

각주

↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》 2판 (영어). Wiley Classics Library. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001.

같이 보기

외부 링크

“Canonical class” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Canonical curve” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Canonical imbedding” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Adjunction theory” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Noether-Enriques theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Canonical bundle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Canonical bundle” (영어). 《nLab》.
“The canonical line bundle of a normal variety” (영어). Math Overflow.

[Hartshorne-1] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[2] Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》 2판 (영어). Wiley Classics Library. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001.

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[2]