초타원 곡선

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대수기하학에서 초타원 곡선(超楕圓曲線, 영어: hyperelliptic curve)은 사영 직선 위의 2차 분지 피복을 이루는 대수 곡선이다.

정의

체 $K$ 위의 초타원 곡선은 다음과 같은 데이터로 주어진다.^{:287, Definition 7.4.7}

• 크룰 차원이 1인 스킴 $C$
• 매끄러운 사상 $\varphi :C\to \mathrm{Spec}K$. 또한, $\varphi$가 기하학적 기약 사상(영어: geometrically irreducible morphism)이라고 하자. (즉, $C{\otimes }_K\overline{K}$은 기약 스킴이다.)
  • 이 조건에 따라서 $C$는 기약 스킴이자 축소 스킴이다.
• $K$ 위의, 차수가 2인 분해 가능 유한 사상 $f:C\to {\mathbb{P}}_K^1$. (즉, 체의 확대 $𝒦(C)/K$는 2차 분해 가능 확대이다.) 여기서 ${\mathbb{P}}_K^1$는 사영 직선이다.
  • 이 조건에 따라서 $\varphi$는 유한형 사상이다.

특히, 만약 $K$가 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 초타원 곡선은 다음과 같다.

• 크룰 차원이 1인 정칙 기약 스킴 $K$
• $K$ 위의, 차수 2의 유한 사상 $f:C\to {\mathbb{P}}_K^1$

분류

종수 $g$의 초타원 곡선 $(C,f)$는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있다. 우선, ${\mathbb{P}}_K^1=\mathrm{Proj}(x_0,x_1)$에서 아핀 좌표

$x=x_1/x_0$

$\tilde{x}=x_0/x_1=1/x$

를 고르자. 그렇다면, 만약 $\mathrm{char}K\ne 2$인 경우, $f$는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

$\varphi :K[x]\to K[x,y]/(y^2-P(x))$

$\tilde{\varphi }:K[\tilde{x}]\to K[\tilde{x},\tilde{y}]/({\tilde{y}}^2-\tilde{P}(\tilde{x}))$

$\tilde{P}(\tilde{x})={\tilde{x}}^{2g+2}P(1/\tilde{x})$

$P(x)=x^{2g+2}\tilde{P}(1/x)$

$P\ne 0$

$\mathrm{deg}P\in \{2g+1,2g+2\}$

이 경우 $C$를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

$y=x^{g+1}\tilde{y}$

$\tilde{y}={\tilde{x}}^{g+1}y$

즉, 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccccc}\frac{\mathrm{Spec}K[x,y]}{(y^2-P(x))}& \supset & \frac{\mathrm{Spec}K[x,y]}{(y^2-P(x))}\setminus \frac{\mathrm{Spec}K[x,y]}{(x,y^2-P(x))}& \stackrel{y=x^{g+1}\tilde{y}}{\cong {\tilde{x}}^{g+1}y=\tilde{y}}& \frac{\mathrm{Spec}K[\tilde{x},\tilde{y}]}{({\tilde{y}}^2-\tilde{P}(\tilde{x}))}\setminus \frac{\mathrm{Spec}K[\tilde{x},\tilde{y}]}{(\tilde{x},{\tilde{y}}^2-\tilde{P}(\tilde{x}))}& \subset & \frac{\mathrm{Spec}K[\tilde{x},\tilde{y}]}{({\tilde{y}}^2-\tilde{P}(\tilde{x}))}\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Spec}K[x]& \supset & \mathrm{Spec}K[x]\setminus \mathrm{Spec}\frac{K[x]}{(x)}& \underset{x=1/\tilde{x}}{\stackrel{1/x=\tilde{x}}{\cong }}& \mathrm{Spec}K[\tilde{x}]\setminus \mathrm{Spec}\frac{K[\tilde{x}]}{(\tilde{x})}& \subset & \mathrm{Spec}[\tilde{x}]\end{array}$

표수가 2인 경우, $f$는 이 두 아핀 열린집합에서 다음과 같은 꼴이다.

$\varphi :K[x]\to K[x,y]/(y^2-Q(x)y-P(x))$

$\tilde{\varphi }:K[\tilde{x}]\to K[\tilde{x},\tilde{y}]/({\tilde{y}}^2-\tilde{Q}(\tilde{x})\tilde{y}-\tilde{P}(\tilde{x}))$

$\tilde{P}(\tilde{x})={\tilde{x}}^{2g+2}P(1/\tilde{x})$

$P(x)=x^{2g+2}\tilde{P}(1/x)$

$\tilde{Q}(\tilde{x})={\tilde{x}}^{g+1}Q(1/\tilde{x})$

$Q(x)=x^{g+1}\tilde{Q}(1/x)$

$\{P,Q\}\ne \{0\}$

$\max \{\mathrm{deg}P,2\mathrm{deg}Q\}\in \{2g+1,2g+2\}$

이 경우 $C$를 구성하는 두 아핀 열린집합은 다음과 같이 붙여진다.

$y=x^{g+1}\tilde{y}$

$\tilde{y}={\tilde{x}}^{g+1}y$

즉, 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccccc}\frac{\mathrm{Spec}K[x,y]}{(y^2-Q(x)y-P(x))}& \supset & \frac{\mathrm{Spec}K[x,y]}{(y^2-Q(x)y-P(x))}\setminus \frac{\mathrm{Spec}K[x,y]}{(x,y^2-Q(x)y-P(x))}& \stackrel{y=x^{g+1}\tilde{y}}{\cong {\tilde{x}}^{g+1}y=\tilde{y}}& \frac{\mathrm{Spec}K[\tilde{x},\tilde{y}]}{({\tilde{y}}^2-\tilde{Q}(\tilde{x})\tilde{y}-\tilde{Q}(\tilde{x})\tilde{y}-\tilde{P}(\tilde{x}))}\setminus \frac{\mathrm{Spec}K[\tilde{x},\tilde{y}]}{(\tilde{x},{\tilde{y}}^2-\tilde{Q}(\tilde{x})\tilde{y}-\tilde{P}(\tilde{x}))}& \subset & \frac{\mathrm{Spec}K[\tilde{x},\tilde{y}]}{({\tilde{y}}^2-\tilde{Q}(\tilde{x})\tilde{y}-\tilde{P}(\tilde{x}))}\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \mathrm{Spec}K[x]& \supset & \mathrm{Spec}K[x]\setminus \mathrm{Spec}\frac{K[x]}{(x)}& \underset{x=1/\tilde{x}}{\stackrel{1/x=\tilde{x}}{\cong }}& \mathrm{Spec}K[\tilde{x}]\setminus \mathrm{Spec}\frac{K[\tilde{x}]}{(\tilde{x})}& \subset & \mathrm{Spec}[\tilde{x}]\end{array}$

표수가 2가 아닌 경우, 항상

$y\mapsto y+Q(x)/2$

를 통해 $Q=\tilde{Q}=0$으로 놓을 수 있다.

이 경우, 다음과 같은 변환을 하더라도 이로서 정의되는 초타원 곡선은 동형이다.

$\mathrm{char}K\ne 2$: $P\mapsto {\lambda }^{2}P(\lambda \in K^{\times })$

$\mathrm{char}K=2$: $(P,Q)\mapsto ({\lambda }^{2}P,\lambda Q)$, $(P,Q)\mapsto (P+f^2+Qf,Q)(f\in K[x],\mathrm{deg}f\le g+1)$

즉, 이 경우 가중 사영 공간

${\mathbb{P}}_K(1,g+1,1)={\mathbb{P}}_K^1[s,t,u]$

속에서 부분 대수다양체

$t^2=Q(u/s)s^{g+1}t+P(u/s)s^{2g+2}$

를 이룬다. 이 경우 $f$는

$C\to {\mathbb{P}}_K^1=\mathrm{Proj}K[s,u]$

$[s:t:u]\mapsto [s:u]$

이다.

분지점

표주가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체인 경우, 이러한 사상 $C$는 짝수 개의 분지점을 갖는다. (분지점은 ${\mathbb{P}}_K^1$의 닫힌 점 $x\in {\mathbb{P}}_K^1$ 가운데, 올 $f^{-1}(x)$이 하나의 점만으로 구성된 경우이다. 분지점이 아니라면, $f^{-1}(x)$는 항상 두 개의 점으로 구성된다.) 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 $P$의 사영 공간에서의 근이다. 즉,

• $\mathrm{deg}P=2g+2$라면, 분지점은 $P$의 $2g+2$개의 근이다.
• $\mathrm{deg}P=2g+1$라면, 분지점은 $P$의 $2g+1$개의 근 및 $\mathrm{\infty }$이다.

이는 가중 사영 공간에서 대합

$[s,t,u]\mapsto [s,-t,u]$

의 고정점이다.

표수가 2인 대수적으로 닫힌 체의 경우, 분지점은 $Q$의 근이다. 이는 가중 사영 공간에서 대합

$[s,t,u]\mapsto [s,t+Q(s/u)u^{g+1},u]$

의 고정점이다.

다음 조건이 주어졌다고 하자.

• 분지점의 수가 $r$라고 할 때, $|K|>r$이다.

이 경우, ${\mathbb{P}}_K^1\setminus \{\mathrm{\infty }\}={𝔸}_K^1=\mathrm{Spec}K[x]$ 위에서 $f$는 다음과 같은 꼴이 된다.

$y^2=f(x)=\sum _{i=0}^d{a}_d{x}^d$

$f\in K[x]$

모듈러스 공간

$K$가 표수가 2가 아닌 대수적으로 닫힌 체이며 종수가 $g\ge 2$일 때, 초타원 곡선은 그 $2g+2$개의 분지점의 집합만으로 완전하게 결정된다. 즉, 그 모듈라이 공간은

$\frac{{\mathrm{Conf}}_0(2g+2)}{\mathrm{Aut}({\mathbb{P}}_K^1)}$

이다. 그 차원은

$2g+2-3=2g-1$

이다.

보다 일반적으로, 표수가 2가 아닌 체에서, 초타원 곡선은 가중 사영 공간에서

$y^2=B(x,z)$

의 꼴로 표현되며, $B(x,z)$는 (종수 $g$의 경우) $2g+2$차 2변수 형식(영어: binary form)이다. 따라서 그 분류는 2변수 형식의 분류로 귀결된다.

외부 링크

• “Hyper-elliptic curve” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Stoll, Michael (2014). “Arithmetic of hyperelliptic curves” (PDF) (영어).