프톨레마이오스 정리

프톨레마이오스 정리의 도해

기하학에서 프톨레마이오스 정리(Ptolemaeus定理, 영어: Ptolemy's theorem) 또는 톨레미 정리(Ptolemy定理)는 원에 내접하는 사각형의 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같다는 정리이다.

정의

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형 $ABCD$에 대하여, 다음이 성립한다.

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

이는 케이시의 정리의 특수한 경우이다.

증명

삼각형의 닮음을 통한 증명

사각형의 내접원과 두 대각선에 같은 각과 닮은 삼각형을 같은 색으로 표시한 도해

삼각형의 닮음을 통한 증명의 도해

사각형 $ABCD$의 외접원의 호 $AB$와 $BC$의 원주각의 성질에 의하여 $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }BDC$이고 $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB$이다. 선분 $AC$ 위에서 $\mathrm{\angle }ABK=\mathrm{\angle }CBD$를 만족시키는 점 $K$를 잡자. 그러면 $\mathrm{\angle }ABD=\mathrm{\angle }CBK$이다. 따라서, 삼각형 $\mathrm{△}ABK$와 $\mathrm{△}DBC$는 닮음이고, 삼각형 $\mathrm{△}ABD$와 $\mathrm{△}KBC$ 역시 닮음이므로,

$\frac{AK}{AB}=\frac{CD}{BD}$

와

$\frac{CK}{BC}=\frac{AD}{BD}$

가 성립한다. $AK+CK=AC$이므로

$AB\cdot CD+BC\cdot AD=AK\cdot BD+CK\cdot BD=AC\cdot BD$

이다.

반전을 통한 역증명

사각형의 내접원과 이를 내부에 포함하는 반전원, 그리고 내접원에 반전을 가하여 얻은 직선

반전을 통한 증명의 도해

중심이 $D$인 단위원에 대한 반전에 대한 $A,B,C$의 상을 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$이라고 하자. 그러면 $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$은 서로 다른 공선점이며, $B^{\prime }$은 $A^{\prime }$와 $C^{\prime }$ 사이의 점이다. 반전의 성질에 의하여

$A^{\prime }{B}^{\prime }=\frac{AB}{AD\cdot BD}$

$B^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{BC}{BD\cdot CD}$

$A^{\prime }{C}^{\prime }=\frac{AC}{AD\cdot CD}$

이며, $A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }$이므로,

$\frac{AB}{AD\cdot BD}+\frac{BC}{BD\cdot CD}=\frac{AC}{AD\cdot CD}$

가 성립한다.

따름정리

삼각 함수 항등식

프톨레마이오스 정리에서 한 대각선이 내접원의 지름인 경우는 두 각의 합의 사인 함수에 대한 항등식과 동치이다.^{:309, Historical note 10.9.2.1} 즉, 내접 사각형 $ABCD$의 대각선 $AC$가 내접원의 중심 $O$를 지난다고 하자. 편의상 내접원의 반지름이 1이라고 하자. 또한 $\mathrm{\angle }BOC=2\theta$이고 $\mathrm{\angle }COD=2\phi$라고 하자. 그러면

$AC=2$

$BD=2\sin (\theta +\phi )$

$AB=2\cos \theta$

$CD=2\sin \phi$

$AD=2\cos \phi$

$BC=2\sin \theta$

이므로, 프톨레마이오스 정리에 의하여

$\sin (\theta +\phi )=\cos \theta \sin \phi +\cos \phi \sin \theta$

가 성립한다.

프톨레마이오스 정리의 역

프톨레마이오스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 사각형 $ABCD$가

$AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

를 만족시킨다면, 내접 사각형이다.

프톨레마이오스 부등식

프톨레마이오스 부등식(Ptolemaeus不等式, 영어: Ptolemy's inequality)에 따르면, 임의의 사각형 $ABCD$에 대하여, 다음이 성립한다.

$AC\cdot BD\le AB\cdot CD+AD\cdot BC$

또한, 등호가 성립할 필요충분조건은 내접 사각형이다.

보다 일반적으로, 평면 위 임의의 네 점 $A,B,C,D$에 대하여, 위와 같은 부등식이 성립하며, 또한 이들에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:309, Proposition 10.9.2}

• 다음 가운데 하나가 성립한다.
  • $AB\cdot CD=AC\cdot BD+AD\cdot BC$
  • $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$
  • $AD\cdot BC=AB\cdot CD+AC\cdot BD$
• 공원점이거나 공선점이다.

역사

고대 그리스의 천문학자이자 수학자인 클라우디오스 프톨레마이오스는 이 정리를 저서 《알마게스트》에 등장하는 현표를 만드는 데 사용하였다.^{:309, Historical note 10.9.2.1}

같이 보기

• 활꼴
• 현

외부 링크

• 이철희. “톨레미의 정리”. 《수학노트》. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy's theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Ptolemy inequality” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Ptolemy's theorem” (영어). 《PlanetMath》.