덧셈

파일:Addition01.svg

덧셈을 설명할 때 자주쓰는 그림

덧셈(현대 수학에서 더하기표 +로 자주 표현된다.)은 산술의 기본 연산 중의 하나로, 뺄셈과 곱셈, 나눗셈과 함께 대표되는 사칙연산이다. 두 개의 수를 받아서 두 수의 합인 하나의 수를 내는 연산이다. 옆의 그림에서 위쪽의 3개의 사과와 아래쪽의 2개의 사과를 덧셈하면(더하면) 사과 5개가 된다. 이를 수학적으로 표현하면 3+2=5가 된다.(말로 표현할 때는 "삼 더하기 이는 오"라고 한다.)

수의 덧셈

덧셈은 보통 덧셈기호 +의 양 옆에 숫자를 넣는 중위 표기법으로 표현한다. 그리고 그 결과를 등호기호 =의 오른쪽에 넣어서 표현한다.

$1+1=2$

$1+2+3=6$

관습적으로 대분수의 경우 따로 덧셈기호가 없어도 앞의 수와 뒤의 분수가 더해진 수라고 생각한다.

$3\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}$

두 자연수의 덧셈은 자연수의 순서에 맞게 그 순서를 더한다.

$3+4=$세번째 수+네번째 수=일곱번째 수$=7$

두 자리수 이상의 자연수의 덧셈은 각각의 자리수를 더해서 구할 수 있다.

$145+231=100+200+40+30+5+1=300+70+6=376$

두 분수의 덧셈은 분모가 같은 경우 분자끼리 더한다.

$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{1+3}{4}=\frac{4}{4}=1$

분모가 다른 경우 두 분모가 최소공배수가 되는 값을 각각의 분수의 분모와 분자에 곱해서 더한다.

$\frac{3}{7}+\frac{2}{5}=\frac{3\times 5}{7\times 5}+\frac{2\times 7}{5\times 7}=\frac{15}{35}+\frac{14}{35}=\frac{29}{35}$

받아올림

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두 자리 수 이상의 자연수를 더할 때, 같은 자리의 숫자끼리의 합이 10 이상이 되면 받아올림이 필요하다. 예를 들어 27 + 59를 계산할 때, 먼저 일의 자리 숫자끼리 계산하면 16이 되므로 6을 일의 자리 숫자에 적고, 1을 받아올린다. 그리고 십의 자리 숫자끼리 계산할 때 일의 자리에서 받아올린 수까지 함께 더하여 8이 되므로 8을 십의 자리 숫자에 적는다.

  ¹
  27
+ 59
————
  86

소수의 덧셈

소수의 덧셈은 다음과 같다. 소수점이 같은 위치에 오도록 적고, 한 수에만 빈 자리가 있으면 그 자리에 0을 적는다. 그 다음에는 자연수의 덧셈과 마찬가지로 같은 자리의 숫자까리 더하되 필요한 경우 받아올림을 한다. 소수점은 더한 수와 같은 위치에 찍는다. 예를 들어 45.1 + 4.34는 다음과 같이 계산한다.

   4 5 . 1 0
+  0 4 . 3 4
————————————
   4 9 . 4 4

수학적 정의

덧셈은 두 개의 원소를 받아 하나의 원소를 내는 이항연산이다. 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수는 각기 다른 대수구조를 가지고 있기 때문에 수학적인 정의들이 각각이 다르다.

자연수

페아노 공리계에서 자연수 집합 $\mathbb{N}$은 다음 다섯개의 공리로 정해진다.

1. $1\in \mathbb{N}$
2. $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},{\mathrm{\exists }}^{\prime }:\mathbb{N}\to \mathbb{N},n^{\prime }\in \mathbb{N}$
3. $!\mathrm{\exists }n\in \mathbb{N},n^{\prime }=1$
4. $\mathrm{\forall }m\in \mathbb{N},n^{\prime }=m^{\prime }\Rightarrow n=m$
5. $S\subset \mathbb{N},1\in S,s\in S,s^{\prime }\in S\Rightarrow S=\mathbb{N}$

여기서 '는 계승자를 나타내는 사상으로 n'은 n의 다음 자연수를 의미한다. 자연수 집합에 0을 추가한 집합 ${\mathbb{N}}^{+}$에 대해서, 덧셈은 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

• $n+0=n$,
• $n+m^{\prime }=(n+m{)}^{\prime }$

임의의 자연수는 0 또는 다른 자연수의 다음 자연수이므로, 임의의 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$의 오른쪽에 자연수를 더하는 것은 항상 두 경우 중 하나와 일치한다. 자연수 덧셈의 교환법칙과 결합법칙은 수학적 귀납법을 통해 증명할 수 있다.

정수

두 정수를 각각 자연수의 차 $n=a-b$, $m=c-d$로 표현할 때 ($a$, $b$, $c$, $d$는 자연수), 정수의 합은 $n+m=(a+c)-(b+d)$으로 정의한다. 이때, $a+c$와 $b+d$는 자연수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

유리수

유리수에서는 덧셈을 다음과 같이 정의한다. 두 유리수를 정수의 비 $\frac{a}{b}$, $\frac{c}{d}$ ($a$, $b$, $c$, $d$는 정수이고 $b$와 $d$는 0이 아니다) 로 표현할 때, 유리수의 합은 다음과 같다.

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$

분수는 유리수의 표기법이므로, 이 정의를 사용하여 분수의 덧셈을 할 수 있다. 예를 들어, $\frac{2}{5}+\frac{3}{4}=\frac{2\cdot 4+3\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{23}{20}$이다.

실수

실수를 유리수의 완비 거리 공간으로 생각하였을 때, 각 실수는 유리수의 코시 열의 극한값이다. 두 실수 $r=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n$, $s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{b}_n$($\{a_n\},\{b_n\}$은 유리수의 코시 열) 에 대해 실수의 합은 각 유리수열에 대해 항 별로 덧셈을 하여 극한을 취한 결과인 $r+s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a_n+b_n)$으로 정의한다.

복소수

복소수의 덧셈은 실수부와 허수부를 각각 더한 결과로 정의한다. 두 복소수 $z=a+bi$, $w=c+di$ ($a,b,c,d$는 실수)에 대해, 복소수의 합은 $z+w=(a+c)+(b+d)i$으로 정의한다. 이때 $a+c,b+d$는 실수에서 정의된 덧셈의 결과이다.

성질

교환법칙

덧셈에서는 교환법칙이 성립한다. 이는 덧셈을 할 때 피연산자의 배치 순서를 바꾸어도 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 $a,b$에 대해

$a+b=b+a$

가 성립한다.

결합법칙

덧셈에서는 결합법칙도 성립한다. 이는 세 피연산자에 대해 덧셈을 할 때 어떤 쌍을 처음 더한 후 다른 하나를 더할 때 항상 같은 결과를 얻는다는 것을 의미한다. 즉, 모든 $a$, $b$, $c$에 대해

$a+(b+c)=(a+b)+c$

가 성립한다. 결합법칙에 의해, $a+b+c$라는 표현은 $(a+b)+c$ 와 $a+(b+c)$ 중 어느 것으로 해석되더라도 같은 결과를 얻으므로 의미가 모호하지 않다.

항등원

덧셈의 항등원은 0이다. 즉, 모든 $a$에 대해

$a+0=0+a=a$

가 성립한다.

더하기표

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18

곱셈과의 관계

같은 수를 여러 번 더한 것을 곱셈이라고 한다.

같이 보기

• 암산
• 복면산