합

수학에서 유한합(有限合, 영어: finite sum)은 유한 개의 수를 더한 결과를 뜻한다. 유한합의 표기에는 그리스 문자 시그마의 모양을 딴 기호 $\sum$ 가 쓰인다.

정의

유한 수열 $(a_{m}, a_{m + 1}, \dots, a_{n})$ 의 유한합

\sum_{k = m}^{n} a_{k} = \sum_{m \leq k \leq n} a_{k} = a_{m} + a_{m + 1} + \dots + a_{n}

은 이 수열의 모든 항을 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

\sum_{k = m}^{m - 1} a_{k} = 0

\sum_{k = m}^{n} a_{k} = a_{n} + \sum_{k = m}^{n - 1} a_{k} (n \in {m, m + 1, m + 2, \dots})

보다 일반적으로, 유한 집합 $I$ 로 첨수된 수들의 집합 ${a_{i} : i \in I}$ 의 유한합은 이 집합의 모든 원소를 더한 결과를 뜻하며, 다음과 같이 정의된다.

\sum_{i \in I} a_{i} = \sum_{k = 1}^{| I |} a_{f (k)}

여기서 $| I |$ 는 $I$ 의 크기이며, $f : {1, \dots, | I |} \to I$ 는 임의의 전단사 함수이다. 위 정의가 유효한 것은 위 합이 전단사 함수 $f$ 의 선택과 무관하기 때문이다.

집합 $I$ 및 그 위의 성질 $P$ 에 대하여, 원소 $i \in I$ 가 성질 $P$ 를 만족시킨다는 것을 $P (i)$ 로 쓰자. 만약 집합 ${i \in I : P (i)}$ 가 유한 집합일 경우, 유한합

\sum_{i \in {j \in I : P (j)}} a_{i}

는

\sum_{i \in I : P (i)} a_{i}

와 같이 표기할 수 있다.

합에 대한 성질을 나타내는 다음과 같은 항등식들이 성립한다.

(점화식) $\sum_{k = 1}^{n} a_{k} = \sum_{k = 1}^{m} a_{k} + \sum_{k = m + 1}^{n} a_{k}$
(덧셈의 보존) $\sum_{k = 1}^{n} (a_{k} \pm b_{k}) = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} \pm \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$
(분배 법칙) $\sum_{k = 1}^{n} c a_{k} = c \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$
(선형성: 이는 덧셈의 보존 및 분배 법칙의 일반화이다.) $\sum_{k = 1}^{n} (c a_{k} + c^{'} b_{k}) = c \sum_{k = 1}^{n} a_{k} + c^{'} \sum_{k = 1}^{n} b_{k}$
(푸비니 정리) $\sum_{i = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} = \sum_{j = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{m} a_{i, j} = \sum_{\binom{1 \leq i \leq m}{1 \leq j \leq n}} a_{i, j}$

그러나 합은 곱셈과 나눗셈을 보존하지 않는다.

실수들의 유한합을 포함하는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

(코시-슈바르츠 부등식) ${(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{2} \leq (\sum_{k = 1}^{n} a_{k}^{2}) (\sum_{k = 1}^{n} b_{k}^{2})$
(횔더 부등식: 코시-슈바르츠 부등식은 이 부등식의 특수한 경우이다.) $\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} b_{k} | \leq {(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} {(\sum_{k = 1}^{n} | b_{k} |^{q})}^{\frac{1}{q}} p, q > 1, \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$
(민코프스키 부등식) ${(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} + b_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} \leq {(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} + {(\sum_{k = 1}^{n} | b_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} p > 1$

증명 (코시-슈바르츠 부등식):

\begin{matrix} 0 & \leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (a_{i} b_{j} - a_{j} b_{i})^{2} \\ = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (a_{i}^{2} b_{j}^{2} - 2 a_{i} a_{j} b_{i} b_{j} + a_{j}^{2} b_{i}^{2}) \\ = 2 \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i}^{2} b_{j}^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j} b_{i} b_{j} \\ = 2 (\sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2}) (\sum_{j = 1}^{n} b_{j}^{2}) - 2 {(\sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k})}^{2} \end{matrix}

증명 (횔더 부등식):

영의 부등식에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.

\frac{\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} b_{k} |}{{(\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}} {(\sum_{j = 1}^{n} | b_{j} |^{q})}^{\frac{1}{q}}} = \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{| a_{k} |^{p}}{\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} |^{p}})}^{\frac{1}{p}} {(\frac{| b_{k} |^{q}}{\sum_{j = 1}^{n} | b_{j} |^{q}})}^{\frac{1}{q}} \leq \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{p} \frac{| a_{k} |^{p}}{\sum_{i = 1}^{n} | a_{i} |^{p}} + \frac{1}{q} \frac{| b_{k} |^{q}}{\sum_{j = 1}^{n} | b_{j} |^{q}}) = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

증명 (민코프스키 부등식):

다음과 같은 $q > 1$ 를 취하자.

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

그렇다면, 이 부등식은 횔더 부등식을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{n} | a_{k} + b_{k} |^{p} & \leq \sum_{k = 1}^{n} | a_{k} | | a_{k} + b_{k} |^{p - 1} + \sum_{k = 1}^{n} | b_{k} | | a_{k} + b_{k} |^{p - 1} \\ \leq {(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} {(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} + b_{k} |^{q (p - 1)})}^{\frac{1}{q}} + {(\sum_{k = 1}^{n} | b_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} {(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} + b_{k} |^{q (p - 1)})}^{\frac{1}{q}} \\ = ({(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}} + {(\sum_{k = 1}^{n} | b_{k} |^{p})}^{\frac{1}{p}}) {(\sum_{k = 1}^{n} | a_{k} + b_{k} |^{p})}^{\frac{1}{q}} \end{matrix}

일부 특수한 합은 더 간단한 꼴의 식으로 나타낼 수 있으며, 그 예는 다음과 같다.

(상수열의 유한합) $\sum_{k = 1}^{n} c = c n$
(등차수열의 유한합: 이를 삼각수라고 한다.) $\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2} = \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{2}$
(제곱수의 유한합: 이를 사각뿔수라고 한다.) $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} = \frac{n^{3}}{3} + \frac{n^{2}}{2} + \frac{n}{6}$
(세제곱수의 유한합: 이를 니코마코스 정리(영어: Nicomachus's theorem)라고 한다.) $\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = {(\sum_{k = 1}^{n} k)}^{2} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} = \frac{n^{4}}{4} + \frac{n^{3}}{2} + \frac{n^{2}}{4}$
(네제곱수의 유한합) $\sum_{k = 1}^{n} k^{4} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{2} + 3 n - 1)}{30} = \frac{n^{5}}{5} + \frac{n^{4}}{2} + \frac{n^{3}}{3} - \frac{n}{30}$
(다섯제곱수의 유한합) $\sum_{k = 1}^{n} k^{5} = \frac{n^{2} (n + 1)^{2} (2 n^{2} + 2 n - 1)}{12}$
(여섯제곱수의 유한합) $\sum_{k = 1}^{n} k^{6} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1) (3 n^{4} + 6 n^{3} - 3 n + 1)}{42}$
(일곱제곱수의 유한합) $\sum_{k = 1}^{n} k^{7} = \frac{n^{2} (n + 1)^{2} (3 n^{4} + 6 n^{3} - n^{2} - 4 n + 2)}{24}$
(임의의 거듭제곱수의 유한합: 이를 파울하버 공식(영어: Faulhaber's formula)이라고 한다. 여기서 $B_{k}$ 는 $k$ 번째 베르누이 수이다.) $\sum_{k = 1}^{n} k^{p} = \sum_{k = 0}^{p} B_{k} (\binom{p}{k}) \frac{(n + 1)^{p - k + 1}}{p - k + 1}$

증명 (세제곱 합):

항등식

(k + 1)^{4} - k^{4} = 4 k^{3} + 6 k^{2} + 4 k + 1 (k \in {1, \dots, n})

을 모두 더해서 정리해주면 위 공식과 같은 결과가 도출된다.

(조화수열의 유한합: 이를 조화수라고 한다.) $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} = \int_{0}^{1} \frac{1 - x^{n}}{1 - x} d x = H_{n}$

(등비수열의 유한합) $\sum_{k = 0}^{n} a^{k} = \frac{1 - a^{n + 1}}{1 - a} a \neq 1$
(등차-등비 수열의 유한합) $\sum_{k = 1}^{n} k a^{k} = \frac{a - (n + 1) a^{n + 1} + n a^{n + 2}}{(1 - a)^{2}} a \neq 1$
(삼각 함수의 유한합: 이를 디리클레 핵(영어: Dirichlet kernel)이라고 한다.) $\sum_{k = 1}^{n} \cos k θ = - \frac{1}{2} + \frac{\sin (n + \frac{1}{2}) θ}{2 \sin \frac{θ}{2}} θ \neq 0$

(이항 계수의 유한합) $\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}$ $\sum_{p = k}^{n} (\binom{p}{k}) = (\binom{n + 1}{k + 1})$
(하강 계승의 유한합) $\sum_{k = 0}^{n} n^{\underline{k}} = ⌊ n! e ⌋$

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