피벗

선형대수학에서 피벗(pivot) 또는 피벗 성분(pivot entry,pivot element)는 특정 계산을 수행하기 위한 임의의 알고리즘 (예 : 가우스 소거법, 단순 알고리즘 등)에 의해 먼저 선택된 행렬의 성분(항,원소)이다.

피벗팅

행렬 알고리즘의 경우, 피벗 엔트리(성분)는 일반적으로 적어도 $0$ 이 아니어야 하고, 종종 $1$ 이 사용되지만 $1$ 이 아닌 값도 가능하다. 이 경우 이러한 성분을 찾는 것을 피벗팅(pivoting)이라고 한다. 피벗팅은 선택된 성분이 나눗셈 등의 연산에 의해 피벗이 고정된 위치에 있게 하고(재정렬), 알고리즘이 성공적으로 진행될 수 있도록 행 또는 열을 교환(스와핑)함으로써 반올림 오류를 줄일 수도 있다.^[1] 이것은 종종 에셜론행렬을 확인하는 데 사용된다.

피벗은 행렬의 행 또는 열을 스와핑하거나 재정렬하는 것으로 생각할 수 있으며 따라서 순열 행렬에 의한 행렬곱셈으로 나타낼 수 있다. 그러나 이러한 알고리즘은 행렬 성분을 거의 이동하지 않으므로 시간이 지체될 수 있다.

전반적으로 피벗팅은 알고리즘의 시간복잡도에 더 많은 연산을 추가하게 된다. 이러한 추가 작업은 알고리즘이 작동하기 위해 때로는 필요하다. 시간상에도 불구하고 이러한 추가 작업은 최종 결과에 수치 안정성을 높이기 때문에 가치가 있다.

예

(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 5 \\ 4 & - 6 & 0 & - 2 \\ - 2 & 7 & 2 & 9 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & - 8 & - 2 & - 12 \\ 0 & 8 & 3 & 14 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & 5 \\ 0 & - 8 & - 2 & - 12 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix}) \overset{`}{a}

같이 보기

각주

↑ Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 110-111쪽. ISBN 978-89-966211-8-8.

참고

http://mathworld.wolfram.com/Pivoting.html

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[1] Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. 110-111쪽. ISBN 978-89-966211-8-8.

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