피카르의 정리

복소해석학에서 피카르의 대정리(영어: Picard’s great theorem)와 피카르의 소정리(영어: Picard’s little theorem)는 정칙 함수의 특이점 근처에서의 상에 대한 정리다.

정의

리만 곡면 $Σ$ 및 점 $z_{0} \in Σ$ 가 주어졌다고 하고, 정칙 함수

f : Σ ∖ {z_{0}} \to \hat{ℂ}

가 $z_{0}$ 에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점 $w_{1}, w_{2} \in \hat{ℂ}$ 이 존재한다.

임의의 근방 $U ∋ z_{0}$ 및 임의의 $w \in \hat{ℂ} ∖ {w_{1}, w_{2}}$ 에 대하여, $w = f (z_{1}) = f (z_{2}) = f (z_{3}) = \dots$ 인 $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \dots \in U$ 가 존재한다.

따름정리

피카르의 소정리에 따르면, 만약 $f : ℂ \to ℂ$ 가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.

$f (ℂ) = ℂ$
$\exists w_{0} \in ℂ : f (ℂ) = ℂ ∖ {w_{0}}$
$\exists w_{0} \in ℂ : f (ℂ) = {w_{0}}$

이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.

피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉, $Σ = \hat{ℂ}$ 이며 $z_{0} = \hat{\infty}$ 라고 하자. 그렇다면 $f : \hat{ℂ} ∖ {\hat{\infty}} \to ℂ$ 는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.

만약 $f$ 가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라 $f$ 는 상수 함수이다.
만약 $f$ 가 무한대에서 극점을 갖는다면, $f$ 는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라 $f (ℂ) = ℂ$ 이다.
만약 $f$ 가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라 $f (ℂ) = \hat{ℂ} ∖ {w_{1}, w_{2}}$ 의 꼴이며, $f (ℂ) \subset ℂ$ 이므로 $w_{2} = \hat{\infty}$ 로 놓을 수 있다.

예

함수 $z \mapsto \exp (1 / z)$ 는 $z = 0$ 에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은

{w_{1}, w_{2}} = {0, \hat{\infty}}

이다.

위 예에 뫼비우스 변환을 가해, ${w_{1}, w_{2}}$ 가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.

역사

에밀 피카르의 이름을 땄다.

참고 문헌

Greene, Robert E.; Steven G. Krantz. 《Function theory of one complex variable》 3판 (영어). Graduate Studies in Mathematics 40. ISBN 978-0-8218-3962-1. MR 2215872. Zbl 1114.30001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Picard theorem” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's little theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Picard's great theorem” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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