하세-베유 제타 함수

수학에서, 하세-베유 제타 함수(영어: Hasse–Weil zeta function)는 주어진 대수다양체의 일부 성질들을 나타내는 L-함수의 하나이다. 유한체에 대한 점들의 수에 대한 정보를 담고 있다.

정의

$V / ℚ$ 가 유리수체에 대한 비특이 사영 대수다양체라고 하자. 그렇다면 모든 소수 $p$ 에 대하여 $V / 𝔽_{p}$ 를 정의할 수 있다. 그렇다면 $V$ 의 하세-베유 제타 함수 $Z_{V, ℚ} (s) : ℂ \to {ℂ ℙ}^{1}$ 를

Z (V / ℚ, s) = \prod_{p} ζ (V / 𝔽_{p}; p^{- s})

을 국소 제타 함수(영어: local zeta function) $ζ (V / 𝔽_{p}; p^{- s})$ 들의 곱으로 정의할 수 있다. 이 정의는 유한 개의 $p^{- s}$ 들의 유리 함수에 대하여 약간의 모호함을 가지지만, 이 함수의 성질은 이 모호함에 크게 의존하지 않는다.

이 모호함을 해소하려면 에탈 코호몰로지를 사용하여야 한다.

하세-베유 L-함수

하세-베유 제타 함수의 특수한 경우로, 타원 곡선의 하세-베유 L-함수(영어: Hasse–Weil L-function)가 있다. 유리수체에 대한 타원 곡선 $E / ℚ$ 의 하세-베유 L-함수 $L (s, E)$ 는 다음과 같다.

L (E; s) = \frac{ζ (s) ζ (s - 1)}{Z (E_{n} / 𝔽_{p}, s)}

여기서 $ζ (s)$ 는 리만 제타 함수이다.

하세-베유 추측

하세-베유 추측(영어: Hasse–Weil conjecture)에 따르면, 하세-베유 제타 함수는 복소평면 전체에서 유리형 함수로 해석적 연속이 가능해야 한다. 타원 곡선의 경우는 모듈러성 정리에 따라 이미 증명되었다.

같이 보기

L-함수

참고 문헌

Silverman, Joseph H. (2009). 《The Arithmetic of Elliptic Curves》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 106. New York: Springer. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 978-0-387-09493-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1194.11005. 2013년 4월 30일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 1월 1일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Koblitz, Neal (1993). 《Introduction to elliptic curves and modular forms》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 97. doi:10.1007/978-1-4612-0909-6. ISBN 978-1-4612-6942-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0804.11039. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)