유사 거리 공간

기하학에서 유사 거리 공간(類似距離空間, 영어: pseudometric space)은 임의의 두 점 사이의 거리를 잴 수 있지만, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 0이 될 수 있는 기하학적 공간이다. 유사 거리 공간 가운데, 서로 다른 두 점 사이의 거리가 양수인 것을 거리 공간이라고 한다.

정의

집합 $X$ 위의 확장 유사 거리 함수(擴張類似距離函數, 영어: extended pseudometric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

d : X \times X \to [0, \infty]

이다.^[1]^{:12, §0.13}

임의의 $x \in X$ 에 대하여, $d (x, x) = 0$
(대칭성) 임의의 $x, y \in X$ 에 대하여, $d (x, y) = d (y, x)$
(삼각 부등식) 임의의 $x, y, z \in X$ 에 대하여, $d (x, y) + d (y, z) \geq d (x, z)$

둘째·셋째 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체될 수 있다.

(삼각 부등식) $d (z, y) + d (y, x) \geq d (x, z)$

여기서 $y = x$ 로 잡으면 $d (y, x) = d (x, y)$ 가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 만약 $d$ 의 공역을 음이 아닌 확장된 실수 $[0, \infty]$ 대신 음이 아닌 실수 $[0, \infty)$ 로 대체할 경우, 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

만약 (확장) 유사 거리 함수 $d$ 가 다음 조건을 추가로 만족시킨다면, (확장) 거리 함수라 한다.

(구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x, y \in X$ 에 대하여, $d (x, y) = 0 ⟺ x = y$

(확장) 유사 거리 공간(영어: (extended) pseudometric space) $(X, d)$ 은 (확장) 유사 거리 함수가 주어진 집합이다.^[1]^{:12, §0.13}

유사 거리 공간의 특별한 집합

확장 유사 거리 공간 $X$ 에서, 점 $x \in X$ 를 중심으로 하는, 반지름이 $r \in (0, \infty]$ 인 열린 공 $ball (x, r)$ 는 다음과 같다.

B_{r} (x) = {y \in X : d (x, y) < r}

유사 거리 공간 $X$ 의 유계 집합 $S \subset X$ 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

$\sup {d (x, s) : s \in S} < \infty$ 인 점 $x \in X$ 가 존재한다.

거리 위상

확장 유사 거리 공간 $(X, d)$ 의 유사 거리 위상(類似距離位相, 영어: pseudometric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 유사 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $U \subset X$ 이다.

모든

x \in U

에 대하여,

ball (x, r_{x}) \subseteq U

인

r_{x} > 0

가 존재한다.

이에 따라 모든 확장 유사 거리 공간은 표준적으로 위상 공간을 이룬다. 그러나 거리 공간의 경우와 달리 이는 콜모고로프 공간이 되지 않을 수 있다.

연산

지름

확장 유사 거리 공간 $(X, d)$ 의 지름(영어: diameter) $diam X$ 는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

diam X = \sup_{x, y \in X} d (x, y) \in [0, \infty]

마찬가지로, 유사 거리 공간의 부분 집합은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 확장 유사 거리 공간을 유계 유사 거리 공간 이라고 한다.

거리화

유사 거리 공간 $(X, d)$ 위에 다음과 같은 동치 관계를 줄 수 있다.

x \sim y ⟺ d (x, y) = 0 \forall x, y \in X

그렇다면, 이에 대한 몫집합 $X / \sim$ 위에 다음과 같은 거리 함수가 존재한다.

d ([x]_{\sim}, [y]_{\sim}) = d (x, y) \forall x, y \in X

이에 따라 $X / \sim$ 은 거리 공간을 이룬다.

성질

유사 거리 공간 $(X, d)$ 의 임의의 부분 집합 $Y \subseteq X$ 에 대하여, $(Y, d |_{Y \times Y})$ 는 유사 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질

모든 유사 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

거리 공간 ⇒ 유사 거리 공간 ⇒ 확장 유사 거리 공간 ⇒ 로비어 공간

예

불 대수 $B$ 위의 유한 유한 가법 측도 $μ : B \to [0, \infty)$ 가 주어졌을 때, $Σ$ 위에는 다음과 같은 자연스러운 유사 거리 함수가 존재한다.

d (A, B) = d (A △ B) = d (A ∖ B) + d (B ∖ A)

여기서 $△$ 은 대칭차이다.

함수해석학에서, L^p 거리 공간 $L^{p} (X)$ 은 어떤 함수 공간 $ℒ^{p} (X)$ 의 거리 공간화로 정의되며, $ℒ^{p} (X)$ 는 유사 거리 공간이지만 일반적으로 거리 공간이 아니다.

각주

↑ ^가 ^나 Doob, Joseph Leo (1994). 《Measure theory》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 143. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0877-8. ISBN 978-0-387-94055-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0791.28001.

외부 링크

“Pseudo-metric” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudometric” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Definition: pseudometric” (영어). 《ProofWiki》.

[Doob-1] 가 ^나 Doob, Joseph Leo (1994). 《Measure theory》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 143. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-0877-8. ISBN 978-0-387-94055-7. ISSN 0072-5285. Zbl 0791.28001.

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