오리엔티폴드

끈 이론에서 오리엔티폴드(orientifold)란 끈의 세계면의 방향 반전 연산자를 게이지하여 없앤 경우를 일컫는다.

정의

ⅡB종 초끈 이론의 기본 끈의 세계면의 $𝒩=(1,1)$ 2차원 등각 장론에는 다음과 같은 연산자들이 존재한다.

• $\Omega$: 끈의 방향을 뒤집는다. 즉, 왼쪽 진동 모드와 오른쪽 진동 모드를 서로 바꾼다.
• $(-{)}^{F_L}$: 왼쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 −1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 +1로 작용한다.
• $(-{)}^{F_R}$: 오른쪽 진동 모드의 페르미온 수. 이는 라몽-라몽 장에 대하여 −1로 작용하며, 라몽-느뵈-슈워츠 페르미온에 대하여 +1로, 느뵈-슈워츠-라몽 페르미온에 대하여 −1로 작용한다.

이들은

${\Omega }^2=((-{)}^{F_L}{)}^2=((-{)}^{F_R}{)}^2=1$

$\Omega (-{)}^{F_L}=(-{)}^{F_R}\Omega$

를 따르며, 크기 8의 정이면체군 $\mathrm{Dih}(4)$을 이룬다.^:§2.2

장	$\Omega$	$(-{)}^{F_{\text{L}}}$ 또는 $(-{)}^{F_{\text{R}}}$
$g_{\mu \nu }$	+	+
$B_{\mu \nu }$	−	+
$\Phi$	+	+
$C_0$	−	−
$C_2$	+	−
$C_4$	−	−
$C_6$	+	−
$C_8$	−	−

보다 일반적으로, 시공간 $M$의 방향을 보존하는 대합 $I:M\to M$에 대하여, $I\Omega$ 등은 ⅡB 끈 세계면 이론의 대칭을 이룬다.

ⅡA의 경우, $\Omega$는 끈 세계면 이론의 대칭이 아니며, 대신 방향을 바꾸는 대합 $I:M\to M$와 합성하였을 때 $I\Omega$ 등은 끈 세계변 이론의 대칭을 이룬다.

끈이 움직이는 시공간 $M$이 어떤 (유한) 대칭군 $G$를 갖는다고 하자. 그렇다면, 총 대칭군

$G\times \mathrm{Dih}(4)$

의 임의의 부분군

$H\le G\times \mathrm{Dih}(4)$

을 골라, 게이지 대칭으로 간주할 수 있다. 이 경우, 만약 $H\le G\times \{1\}$이라면 (즉, 끈 세계면 2차원 등각 장론의 대칭을 사용하지 않는다면) 이는 일반 오비폴드 $M/H$ 위의 끈과 같다. 그러나 일반적으로 $H\le ̸G\times \{1\}$이라면, 이를 오리엔티폴드라고 한다.

오리엔티폴드 평면

흔히 사용되는 경우는 $H=\{(1,1),(g,\Omega )\}$이며 $g^2=1$인 경우이다. 이 경우, $g$의 고정점의 집합을 오리엔티폴드 평면이라고 한다. 차원에 따라, $p+1$차원의 오리엔티폴드 평면을 O$p$ 평면으로 부른다.

O-평면은 D-막과 같이 게이지 전하를 지니나, 이들은 D-막과 달리 음의 장력을 지니며, 또한 동적이지 않다. (즉 O-평면에 국한된 진동모드가 없다.) 예를 들어, $G$가 자명한 ($G=1$) 경우 과녁 공간 전체를 차지하는 O9-평면이 존재한다.

보다 일반적으로,

$\mathrm{Dih}(4)=\{1,(-{)}^{F_L+F_R},\Omega ,\Omega (-{)}^{F_L+F_R},(-{)}^{F_L},(-{)}^{F_R},\Omega (-{)}^{F_L},\Omega (-{)}^{F_R}\}$

에서, 총 페르미온 수 $(-{)}^{F_L+F_R}$를 삽입하는 것은 오리엔티폴드를 반(反) 오리엔티폴드로 바꾸는 것에 해당한다.^{:319, §10.6}

이를 무시하면 (즉, 몫군 $\mathrm{Dih}(4)\twoheadrightarrow \mathrm{Cyc}(2{)}^3$을 취하면), 항등원이 아닌 세 개의 원소가 남는다. 에드워드 위튼은 이를 다음과 같이 명명하였다.

• (ⅰ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅰ) orientifold): $\Omega$
• (ⅱ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅱ) orientifold): $(-{)}^{F_L}$ (또는 $(-{)}^{F_R}$)
• (ⅲ)종 오리엔티폴드(영어: type (ⅲ) orientifold): $\Omega (-{)}^{F_L}$ (또는 $\Omega (-{)}^{F_R}$)

이 경우, 사용되는 원소 $X$는 페르미온에 대하여 $X^2=+1$이 되어야 한다. 이 조건을 풀면, Op-평면에 사용되는 연산자는 다음과 같다.^{:(2.1), §2.1:317, Table 10.3}

$I_{9-p}\Omega \cdot \{\begin{array}{cc}1& p\equiv 0,1(\mathrm{mod}4)\\ (-{)}^{F_L}& p\equiv 2,3(\mathrm{mod}4)\end{array}$

물론, ⅡA에서 p는 짝수이며, ⅡB에서 p는 홀수이다. 이는 음의 라몽-라몽 전하의 경우이다. 정이면체군 Dih(4)의 중심의 원소 $(-{)}^F$를 여기에 추가로 삽입할 수 있으며, 이를 삽입하면 양의 라몽-라몽 전하를 얻는다. 이것들은 오리엔티폴드 반(反)평면(영어: anti-orientifold plane)에 해당한다.^:§2 위 표에서 물론 $(-{)}^{F_L}$을 사용하는지, $(-{)}^{F_R}$를 사용하는지는 임의적이지만, 이는 어느 것을 D-막으로, 어느 것을 반(反) D-막으로 간주하는지에 대응한다.

기타 오리엔티폴드 평면

보다 일반적인 오리엔티폴드 평면의 종류도 존재한다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면 근처에 꼬임 부분군에 해당하는 캘브-라몽 장 또는 ($p\le 6$일 때) 라몽-라몽 장 장세기를 추가할 수 있다.

이름	캘브-라몽 장세기	라몽-라몽 장세기	장력	라몽-라몽 전하	$N$개 반(半)D-막의 게이지 군
Op−	0	0	$-2^{p-4}$	$-2^{p-4}$	$\mathrm{SO}(N)$
Op+	≠0	0	$2^{p-4}$	$2^{p-4}$	$\mathrm{USp}(N)$
Õp−	0	≠0	$1-2^{p-4}$	$1-2^{p-4}$	$\mathrm{SO}(N+1)$
Õp+	≠0	≠0	$2^{p-4}$	$2^{p-4}$	$\mathrm{USp}(N)$

물론, 위 경우 모두에 대하여 $(-{)}^F$를 삽입하여 반(反)평면을 생각할 수 있다. 이 경우 장력은 그대로지만 라몽-라몽 전하의 부호가 반대가 된다.

위 표에서, Õp⁻-평면은 Op⁻평면과 ½개의 Dp-막이 결합한 상태로 여길 수 있다.

성질

오리엔티폴드 평면은 D-막과 마찬가지로 라몽-라몽 장에 대하여 대전돼 있으며, 음의 장력을 가진다. 구체적으로, 오리엔티폴드 평면의 D-막 전하는 다음과 같다.

O-평면	Op 전하 / Dp 전하
O9	−32
O8	−16
O7	−8
O6	−4
O5	−2
O4	−1
O3	−½
O2	−¼
O1	−⅛

이는 T-이중성으로 계산할 수 있다. Ⅰ종 끈 이론에서 O9-평면은 −32개의 D9-막과 같은 전하를 가지고 있다. 이를 원환면 ${𝕋}^n$에 축소화하여 T-이중성을 가하면, $2^n$개의 O$(9-n)$-평면이 32개의 D$(9-n)$-막과 같은 전하를 가짐을 알 수 있다. ($2^n$은 원환면에서 모든 좌표를 뒤집는 대칭의 고정점의 수이다.) 예를 들어, 한 번 T-이중성을 가한 Ⅰ′종 끈 이론은 선분 위에 ⅡA종 초끈 이론을 축소화한 것으로, 선분의 양끝에는 O8-평면과 각각 16개의 D8-막이 존재한다.

위 표에서, “$k$개의 D-막”이란 오리엔티폴드를 가하기 이전의 D-막의 수이다. 오리엔티폴드를 가하면 서로 대응되는 D-막의 쌍이 하나로 여겨지게 된다. (즉, $k$는 항상 짝수이며, 이는 게이지 군 O(k)를 발생시킨다.)

예

Ⅰ종 끈 이론을 생각하자. 이 경우, ⅡB종 끈 이론에서

$H=\{(1,\Omega )\}$

에 대한 오리엔티폴드를 취한 것이다. 이 경우, 항등 함수의 고정점은 시공간 전체이므로, 이는 O9-평면에 해당한다. 올챙이 파인먼 도형을 상쇄시키기 위하여, 진공의 라몽-라몽 전하가 0이 되게 하기 위하여 32개의 D9-막을 추가해야 한다. 그렇다면 O(32) 게이지 군을 얻으며, 이는 Ⅰ종 끈 이론의 게이지 군에 해당한다.

역사

1989년에 잔프란코 프라디시(이탈리아어: Gianfranco Pradisi)와 아우구스토 사뇨티(이탈리아어: Augusto Sagnotti), 다이진(중국어: 戴瑾, 병음: Dài Jǐn), 로버트 리(영어: Robert G. Leigh), 조지프 폴친스키가 발견하였다. 다이·리·폴친스키 논문은 D-막의 발견 논문이기도 하다.

‘오리엔티폴드’(영어: orientifold)란 영어: orientation 오리엔테이션^[*](방향)과 ‘오비폴드’의 합성어이다.

외부 링크

• “Orientifold” (영어). 《nLab》. 
• “Orientifold plane” (영어). 《nLab》.