모듈라이 공간

대수기하학에서 모듈라이 공간(moduli空間, 영어: moduli space)은 각 점이 어떤 공간족의 각 원소와 대응하는 공간이다. 이를 사용하여, 여러 분류 문제를 해결할 수 있다. 대수적 위상수학의 분류 공간과 유사한 개념이다.

정의

스킴을 집합으로 대응시키는 함자 $F:{\mathrm{Sch}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$가 주어졌다고 하자. 이 함자의 섬세한 모듈라이 공간(영어: fine moduli space) $(M,\tau )$은 $F$의 표현이다. 즉,

• $M\in \mathrm{Sch}$은 스킴이다.
• $\tau :F⟹{\mathrm{hom}}_{\mathrm{Sch}}(-,M)$는 자연 동형이다.

이 정의는 다음과 같이 해석한다.

• 함자 $F(B)$는 어떤 밑공간 $B$ 위에 존재할 수 있는 모든 공간족(族)들의 집합으로 생각한다.
• $\tau$는 $B$ 위에 존재하는 공간족들이 사상 $B\to M$과 대응한다는 것을 의미한다. 즉, $B$ 위의 임의의 공간족은 사상 $B\to M$으로 인한, $M$ 위의 보편 공간족(영어: universal family)의 당김으로 유도된다.

함자 $F:{\mathrm{Sch}}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Set}$의 거친 모듈라이 공간(영어: coarse moduli space) $(M,\tau )$은 다음을 만족시키는 순서쌍이다.

• $M\in \mathrm{Sch}$은 스킴이다.
• $\tau :F⟹{\mathrm{hom}}_{\mathrm{Sch}}(-,M)$는 자연 변환이다.
• 모든 대수적으로 닫힌 체 $K$에 대하여, 함수 ${\tau }_{\mathrm{Spec}K}:F(\mathrm{Spec}K)\to {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Sch}}(\mathrm{Spec}K,M)$은 전단사 함수이다.
• 임의의 스킴 $\tilde{M}$ 및 자연 변환 $\tilde{\tau }:F⟹{\mathrm{hom}}_{\mathrm{Sch}}(-,\tilde{M})$에 대하여, $\tilde{\tau }=\sigma \circ \tau$인 자연 변환 $\sigma :{\mathrm{hom}}_{\mathrm{Sch}}(-,M)⟹{\mathrm{hom}}_{\mathrm{Sch}}(-,\tilde{M})$이 존재한다.

이 밖에도, 스킴의 범주 대신 예를 들어 어떤 주어진 스킴 위의 스킴들의 범주나 다른 기하학적 범주에서도 섬세한·거친 모듈라이 공간을 정의할 수 있다.

일반적으로, 자기 동형 사상을 갖는 공간들의 공간족은 섬세한 모듈라이 공간을 가질 수 없으며, 오직 거친 모듈라이 공간만이 존재한다. 이 경우 추가 구조를 주어 자기 동형을 없애거나, 아니면 스택과 같은 대상을 사용하여야 한다.

예

그라스만 다양체

어떤 $K$-벡터 공간 $V$에 대하여, 그라스만 다양체 $G(n,V)$는 $V$의 (원점을 지나는) $n$차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이다. $n=1$인 경우, 이는 사영 공간으로 불린다.

저우 다양체

저우 다양체 $\mathrm{Chow}(d,{\mathbb{P}}^3)$는 ${\mathbb{P}}^3$ 속의 차수 $d$의 곡선들의 모듈라이 공간이다. 보다 일반적으로, 힐베르트 스킴은 사영 공간 속의 모든 닫힌 부분 스킴들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

곡선의 모듈라이 공간

종수가 $g$인 비특이 사영 대수 곡선들의 경우 (섬세한) 모듈라이 공간이 존재하지 않고, 대신 오직 모듈라이 스택만이 존재하는데, 이를 ${ℳ}_g$라고 한다. 여기에 안정 곡선을 추가하여 콤팩트화하면, 종수 $g$의 안정 곡선들의 모듈라이 스택 ${\overline{ℳ}}_g$를 얻는다. 물론 종수가 $g$인 비특이 (또는 안정) 곡선들의 거친 모듈라이 공간은 존재하지만, 이는 모듈라이 스택보다 더 적은 양의 정보를 담고 있다.

같이 보기

• 모듈러스 (물리학)
• 표현 가능 함자

참고 문헌

• Harris, Joe; Ian Morrison (1998). 《Moduli of Curves》 (영어). Springer. ISBN 0-387-98429-1. 

외부 링크

• “Moduli space” (영어). 《nLab》. 
• van Tuyll, Edgar. “Moduli space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.