카이제곱 분포

카이제곱 분포

확률 밀도 함수
파일:Chi-square distributionPDF.png
누적 분포 함수
파일:Chi-square distributionCDF.png
매개변수	자연수 $k$: 자유도
지지집합	x ∈ [0, +∞)
확률 밀도	$\frac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}$
누적 분포	$\frac{1}{\Gamma (k/2)}\gamma (k/2,x/2)$
기댓값	$k$
중앙값	$\approx k(1-\frac{2}{9k}{)}^3$
최빈값	max{ k − 2, 0 }
분산	$2k$
비대칭도	$\sqrt{8/k}$
첨도	12 / k
엔트로피	$\frac{k}{2}+\ln (2\Gamma (k/2))+(1-k/2)\psi (k/2)$
적률생성함수	$(1-2t{)}^{-k/2}$, 단 $|k|\le 1/2$
특성함수	$(1-2it{)}^{-k/2}$

카이제곱 분포(χ제곱分布, 영어: chi-squared distribution) 또는 χ² 분포는 $k$개의 서로 독립적인 표준정규 확률변수를 각각 제곱한 다음 합해서 얻어지는 분포이다. 이 때 $k$를 자유도라고 하며, 카이 제곱 분포의 매개변수가 된다. 카이 제곱 분포는 신뢰구간이나 가설검정 등의 모델에서 자주 등장한다.

카이 제곱 분포는 감마 분포의 특수한 형태로 감마 분포에서 $k=\nu /2$, $\theta =2$인 분포를 나타낸다.

$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}{\mathrm{𝟏}}_{\{x\ge 0\}}$

정의

양의 정수 $k$가 주어졌다고 하고, $k$개의 독립적이고 표준정규분포를 따르는 확률변수 $X_1,\cdots ,X_k$를 정의하자.

그렇다면 자유도 $k$의 카이 제곱 분포는 확률변수

$Q=\sum _{i=1}^k{X}_i^2$

의 분포이다. 즉, $Q\sim {\chi }_k^2$이다.

성질

카이 제곱 분포의 확률밀도함수는 다음과 같다.

$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}{\mathrm{𝟏}}_{\{x\ge 0\}}$

여기에서 $\Gamma (k/2)$는 감마 함수이다.

누적분포함수는 다음과 같다.

$F(x;k)=\frac{\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}=P(k/2,x/2)$

여기에서 $\gamma (s,x)$는 하부 불완전 감마 함수이다.

비대칭도는 $\sqrt{8/k}$, 첨도는 $12/k$이다. 따라서 $k$가 충분히 크지 않은 경우 카이 제곱 분포를 중심극한정리를 통해 곧바로 정규분포로 근사하는 것은 오차가 많이 발생한다. 그 대신, 다른 방식의 근사 방식이 제안되어 있다.

• 로널드 피셔는 $\sqrt{2{\chi }_k^2}$를 정규분포로 근사하는 방법을 제안했다. 이때 평균은 $\sqrt{2k-1}$, 분산은 1이 된다.
• $\sqrt[3]{{\chi }_k^2/k}$를 정규분포로 근사할 수 있다. 평균은 $1-2/(9k)$, 분산은 $2/(9k)$가 된다.

같이 보기

• 카이제곱 검정
• t-분포