아벨 다양체

대수기하학에서 아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety) 또는 가환다양체(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 아벨 다양체는 $k$에 대한, 대수군을 이루는 (기약 연결) 사영 대수다양체이다.

등원사상(等原寫像, 영어: isogeny 아이소제니^[*])은 두 아벨 다양체 사이의, 핵이 유한 집합인 전사 군 준동형이다.^:329 영어명 영어: isogeny 아이소제니^[*]는 고대 그리스어: ἰσογενής 이소게네스^[*](같은 종족·출신·종류의)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점(군의 항등원)을 보존시키기 때문이다.

아벨 다양체의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. 주극성화(영어: principal polarization)는 동형사상인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. (주)극성화 아벨 다양체(영어: (principally) polarized Abelian variety)는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다.

복소수체 위의 아벨 다양체

아벨 함수와 세타 함수

복소수 아벨 다양체 위의 유리형 함수를 아벨 함수(Abel函數, 영어: Abelian function)라고 한다. 즉, 이는 $g$개의 복소수 변수를 갖고, 모든 변수에 대하여 주기적인 유리형 함수이다. 이는 타원 함수의 고차원 일반화이다.

복소수 아벨 다양체 위의 해석적 선다발의 해석적 단면을 세타 함수라고 한다.

리만 조건

복소수체 $ℂ$에 대한 $g$차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면

$V/\Lambda \cong T^{2g}$

이다. 여기서

• $V\cong {ℂ}^g$는 $g$차원 복소수 벡터 공간이다.
• $\Lambda \subset V$는 $V$ 속의 격자이다.

이러한 해석적 복소수 원환면 위의 리만 형식(Riemann形式, 영어: Riemann form) $h:V\times V\to ℂ$은 격자에 제한한다면 허수 성분은 정수인 반쌍선형 형식이다. 즉, 다음 조건들이 성립한다.

• (에르미트성) 임의의 $u,v\in V$에 대해, $⟨u,v⟩=\overline{⟨v,u⟩}$
• (반쌍선형성) 임의의 $\alpha ,{\alpha }^{\prime }\in ℂ$, $u,v,v^{\prime }\in V$에 대해, $⟨u,\alpha v+{\alpha }^{\prime }{v}^{\prime }⟩=\alpha ⟨u,v⟩+{\alpha }^{\prime }⟨u,v^{\prime }⟩$
• (정부호성) 임의의 0이 아닌 $u\in V$에 대하여, $⟨u,u⟩>0$이다.
• (정수성) 임의의 $u,v\in \Lambda$에 대하여, $⟨u,v⟩\in ℝ+i\mathbb{Z}$이다.

그렇다면 복소수 원환면 $V/\Lambda$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $ℂ/\Lambda$는 아벨 다양체이다. 즉, 복소수 사영 공간으로 가는 매장이 존재한다.
• (리만 조건, Riemann條件, 영어: Riemann conditions) $ℂ/\Lambda$ 위에 리만 형식이 존재한다.

리만 형식이 존재한다면, 이로 인하여 $(V/\Lambda ,h)$는 켈러 다양체를 이루며, 그 켈러 형식

$K=\frac{1}{2}i(h-\overline{h})\in H^2(V/\Lambda ;\mathbb{Z})(h(a,b)=⟨a,b⟩)$

은 정수 계수 코호몰로지에 속한다. 따라서, 고다이라 매장 정리에 따라 $V/\Lambda$는 사영 대수다양체를 이룬다. 이 경우, 매장의 좌표는 구체적으로 $V$ 위의 세타 함수들로 주어진다.

리만 조건은 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다. 예를 들어, 에르미트 형식 $h$의 허수 부분

$Q=\mathrm{Im}h{|}_{\Lambda \times \Lambda }:\Lambda \times \Lambda \to \mathbb{Z}$

은 정수 행렬을 이루며, 이로부터 에르미트 형식 전체를 다음과 같이 복구할 수 있다.

$h(u,v)=i{Q}^{ℝ}(u,v)+Q^{ℝ}(iu,v)\mathrm{\forall }u,v\in V$

여기서 $Q^{ℝ}:V\times V\to ℝ$는 $Q$의 실수 계수 선형 확대이다. 따라서, 리만 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $\Lambda$ 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 $Q$가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.^:13–14

  $Q^{ℝ}(iu,iv)=Q^{ℝ}(u,v)\mathrm{\forall }u,v\in V$

  $h(u,u)=Q^{ℝ}(iu,u)>0\mathrm{\forall }u\in V\setminus \{0\}$

또는 이는 $Q^{ℝ}$ 대신 $Q^{ℂ}$를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. $\Lambda {\otimes }_{\mathbb{Z}}ℂ=V\oplus \overline{V}$로 놓으면,

• $\Lambda$ 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 $Q$가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.^:327

  $Q^{ℝ}(iu,iv)=Q^{ℝ}(u,v)\mathrm{\forall }u,v\in V$

  $h(u,u)=-i{Q}^{ℝ}(u,\overline{u})>0\mathrm{\forall }u\in V\setminus \{0\}$

등원사상과 극성화

복소수체 위에서의 등원사상은 아벨 다양체를 정의하는 격자로서 다룰 수 있다. 두 아벨 다양체 $V/\Lambda$, $V/{\Lambda }^{\prime }$에서 등원사상

$V/\Lambda \twoheadrightarrow V/{\Lambda }^{\prime }$

이 주어졌다면, 이는 격자의 포함 관계 ${\Lambda }^{\prime }\hookrightarrow \Lambda$와 같다. 즉, 이는 (격자를 자유 아벨 군으로 여길 때) 유한 지표 부분군으로 주어진다.

복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 동치류에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 $H,H^{\prime }$이 양의 정수 $n,n^{\prime }\in {\mathbb{Z}}^{+}$이 존재해 $nH=n^{\prime }{H}^{\prime }$인 경우, $H\sim H^{\prime }$으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 동치류 $[H]$는 주극성화를 정의한다.

모듈러스 공간

복소수 $g$차원 주극성화 아벨 다양체의 모듈라이 공간 ${𝒜}_g$는 다음과 같다.

${𝒜}_g=\mathrm{Sp}(2g;\mathbb{Z})\mathrm{\setminus }\mathrm{Sp}(2g;ℝ)/\mathrm{U}(g)$

여기서 $\mathrm{Sp}(2g;ℝ)$는 리만 형식을 보존하는 심플렉틱 변환들의 집합이고, $\mathrm{Sp}(2g;\mathbb{Z})$는 리만 형식의 동치에 의하여 생성되는 군이다. 여기서 $\mathrm{Sp}(2g;ℝ)/\mathrm{U}(g)$를 지겔 상반평면(Siegel上半平面, 영어: Siegel upper half-plane)이라고 하는데, 이는 $g=1$일 경우 일반적인 복소수 상반평면이기 때문이다.

이는 복소수 $g(g+1)/2$차원 오비폴드이다. 모든 (대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 원환면들의 모듈러스 공간의 차원은 복소수 $g^2$차원이므로, $g>1$인 경우 거의 모든 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다. 다만, $g=1$인 경우 (타원곡선) 모든 복소수 원환면은 대수적이다.

예를 들어, $g=1$인 경우 $\mathrm{Sp}(2;\mathbb{Z})=\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$는 모듈러 군이고,

$\mathrm{Sp}(2;ℝ)/\mathrm{U}(1)=\mathrm{PSL}(2;ℝ)/\mathrm{SO}(2)\cong \{z\mapsto az+b|a\in {ℝ}^{+},b\in ℝ\}\cong ℍ$

는 (아핀) 복소수 상반평면이므로

${𝒜}_1=ℍ/\mathrm{PSL}(2;\mathbb{Z})$

는 복소수 타원 곡선의 모듈러스 공간이다.

예

아벨 다양체의 주된 예는 대수 곡선의 야코비 다양체 또는 일반적인 대수다양체의 피카르 다양체 및 알바네세 다양체이다. 1차원 아벨 다양체는 타원 곡선이라고 한다.

같이 보기

• 모티브 (수학)

참고 문헌

• Birkenhake, Christina; H. Lange (2004). 《Complex Abelian varieties》 2판 (영어). Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 302. Springer. doi:10.1007/978-3-662-06307-1. ISBN 978-0-387-54747-3. Zbl 1056.14063.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Mumford, David (2008). 《Abelian varieties》 2판 (영어). Tata Institute of Fundamental Research. ISBN 978-81-85931-86-9. Zbl 1177.14001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
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• Debarre, Olivier (2005). 《Complex Tori and Abelian Varieties》 (영어). SMF/AMS Texts and Monographs 11. American Mathematical Society/Société Mathématique de France. ISBN 978-0-8218-3165-6. 

외부 링크

• 파일:Commons-logo.svg 위키미디어 공용에 [{{fullurl:Commons:|uselang=ko}} 아벨 다양체] 관련 미디어 분류가 있습니다.
• van der Geer, Gerard; Ben Moonen. “Abelian varieties” (영어). 2011년 8월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 10월 30일에 확인함. 
• Arapura, Donu (2012년 4월 19일). “Abelian varieties and moduli” (PDF) (영어). 
• Venkov, B.B. (2001). “Abelian variety” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Dolgachev, I.V. (2001). “Abelian scheme” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Dolgachev, I.V. (2001). “Isogeny” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Abelian function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.