유리 함수층

대수기하학에서 유리 함수층(有理函數層, 영어: sheaf of rational functions)는 어떤 대수다양체 위에 존재하는 유리 함수들로 구성된 층이다.

정의

정역 스킴의 경우

정역 스킴 $(X,{𝒪}_X)$ 위의 유리 함수층 ${𝒦}_X$는 다음과 같은 체 값을 갖는 층이다. 임의의 공집합이 아닌 열린집합 $U\subseteq X$에 대하여,

$\Gamma (U;{𝒦}_X)=\mathrm{Frac}(\Gamma (U;{𝒪}_X))$

즉, 각 열린집합에 대응하는 정칙 함수들의 정역에 분수체를 취한 것이다. 물론, 공집합의 경우 층의 값은 항상 자명환이다.

$\Gamma (\varnothing ;{𝒦}_X)=0$

일반적 스킴의 경우

임의의 국소환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$의 유리 함수층 ${𝒦}_X$는 다음과 같이 정의한다.^{:140–141, §II.6}

각 열린집합 $U\subseteq X$ 및 $x\in U$에 대하여, 줄기 ${𝒪}_{X,x}$로 가는 표준적인 제약 사상

${\mathrm{res}}_{U,x}:\Gamma (U,{𝒪}_X)\to {𝒪}_{X,x}$

이 존재한다. 그렇다면, 다음과 같은 집합을 정의하자.

$S_U=\{f\in \Gamma (U;{𝒪}_X):{\mathrm{res}}_{U,x}(f)\in \mathrm{Reg}({𝒪}_{X,x})\}=\bigcap _{x\in U}{\mathrm{res}}_{U,x}^{-1}(\mathrm{Reg}({𝒪}_{X,x}))\subset \Gamma (U;{𝒪}_X)$

여기서 $\mathrm{Reg}(-)$는 가환환에서 영인자가 아닌 원소들의 곱셈 모노이드이다. 이는 곱셈 모노이드들의 교집합이므로 역시 곱셈 모노이드를 이룬다.

그렇다면 $X$ 위의 준층 ${\widetilde{𝒦}}_X$를 다음과 같은 국소화로 정의하자.

$\Gamma (U;{\widetilde{𝒦}}_X)=S_U^{-1}\Gamma (U;{𝒪}_X)$

여기서 $S_U^{-1}$은 국소화이다. 이 경우, 제약 사상은 국소화로 유도되는 자연스러운 사상들이다. $X$ 위의 유리 함수층 ${𝒦}_X$는 준층 ${\widetilde{𝒦}}_X$의 층화이며, 이는 ${𝒪}_X$-가군층을 이룬다.

임의의 스킴 위의 유리 함수층의 경우, 단면들이 체를 이루지 않을 수 있다.

성질

줄기

$X$가 국소 뇌터 스킴이거나, 또는 축소 스킴이며 그 기약 성분의 집합이 국소적으로 유한하다고 하자 (즉, 임의의 점 $x$에 대하여, 그 기약 성분의 수가 유한한 열린 근방 $U\ni x$가 존재한다). 그렇다면, 유리 함수층의 줄기는 구조층의 줄기의 전분수환과 같다.^{:205:Lemma 7.1.12b}

${𝒦}_{X,x}=\mathrm{Frac}({𝒪}_{X,x})$

아핀 스킴의 유리 함수층

가환환 $R$에 대하여, 전분수환 $\mathrm{Frac}(R)$에서 스펙트럼 위의 유리 함수환으로 가는 표준적인 환 준동형

$\mathrm{Frac}(R)\to \Gamma (\mathrm{Spec}R;{𝒦}_{\mathrm{Spec}R})$

이 존재하며, 이는 항상 단사 함수이다.^{:Remark 7.1.14}

만약 $R$가 뇌터 환이거나, 또는 유한 개의 극소 소 아이디얼들을 갖는 축소환이라면, 이는 환의 동형 사상을 이룬다.^{:Lemma 7.1.12b} 그러나 일반적으로 이는 동형 사상이 아니다.

코호몰로지

국소환 달린 공간 $(X,{𝒪}_X)$ 위에는 다음과 같은 아벨 군 층의 짧은 완전열이 존재한다.

$1\to {𝒪}_X^{\times }\to {𝒦}_X^{\times }\to {𝒦}_X^{\times }/{𝒪}_X^{\times }\to 1$

여기서 $(-{)}^{\times }$는 가역원층을 뜻한다. 이에 따라서 다음과 같은 층 코호몰로지 긴 완전열이 존재한다.

$1\to \Gamma (X;{𝒪}_X^{\times })\to \Gamma (X;{𝒦}_X^{\times })\to \Gamma (X;{𝒦}_X^{\times }/{𝒪}_X^{\times })\to {\mathrm{H}}^1(X;{𝒪}_X^{\times })\to {\mathrm{H}}^1(X;{𝒦}_X^{\times })\to {\mathrm{H}}^1(X;{𝒦}_X^{\times }/{𝒪}_X^{\times })\to {\mathrm{H}}^2(X;{𝒪}_X^{\times })\to \cdots$

여기서 각 코호몰로지 군들은 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.

• $\Gamma (X;{𝒪}_X^{\times })$: 가역 정칙 함수군
• $\Gamma (X;{𝒦}_X^{\times })$: 가역 유리 함수군
• $\Gamma (X;{𝒦}_X^{\times }/{𝒪}_X^{\times })$: 카르티에 인자 군
• $\Gamma (X;{𝒦}_X^{\times }/{𝒪}_X^{\times })/\Gamma (X;{𝒦}_X^{\times })$: 카르티에 인자 유군
• ${\mathrm{H}}^1(X;{𝒪}_X^{\times })$: 피카르 군

예

체 $K$에 대하여, 0차원 아핀 공간 ${𝔸}_K^0\mathrm{Spec}K=\{(0)\}$은 한원소 공간이며, 이 경우

$\Gamma (\mathrm{Spec}K,{𝒦}_{\mathrm{Spec}K})=K$

$\Gamma (\varnothing ,{𝒦}_{\mathrm{Spec}K})=0$

이다.

체 $K$에 대하여, 아핀 직선 ${𝔸}_K^1=\mathrm{Spec}K[x]$의 경우,

$\Gamma ({𝔸}_K^1,{𝒦}_{{𝔸}_K^1})=K(x)$

이다. 즉, $K$의 계수의 유리 함수들의 체이다.

역사

알렉산더 그로텐디크가 1967년에 도입하였으나,^{:226–227, Propositions 20.1.1–3} 그로텐디크의 정의는 문제가 있었다. 이를 스티븐 클라이먼(영어: Steven Kleiman)이 1979년에 지적하고 교정하였다.

같이 보기

• 카르티에 인자

외부 링크

• “Rational function” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Sheaf of rational functions” (영어). 《nLab》. 
• de Jong, Johan (2010년 12월 3일). “Rational maps” (영어). 《Stacks Project Blog》. 
• “Extra principal Cartier divisors on non-Noetherian rings?” (영어). 《Math Overflow》.