카탈랑 상수

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카탈랑 상수(Catalan's constant)는 외젠 샤를 카탈랑에 의해 정의된 상수로 조합론에서 쓰인다.

정의

카탈랑 상수는 다음과 같이 정의된다.

$G=\beta (2)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$

여기서 β는 디리클레 베타 함수를 의미한다.

카탈랑 상수의 값은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A006752)

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774 …

카탈랑 상수의 값은 소숫점 아래 6천 억 자리까지 계산되었으나 이 수가 유리수인지 여부는 아직 알려져 있지 않다.

표현

카탈랑 상수는 적분을 이용하여 다음과 같이 표현된다.

$G=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2{y}^2}dxdy$

$G=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$

$G=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\frac{t}{\sin t\cos t}dt$

$G=\frac{1}{4}\underset{-\pi /2}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{t}{\sin t}dt$

$G=\underset{0}{\overset{\pi /4}{\int }}\ln (\cot (t))dt$

$G=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\arctan (e^{-t})dt$

$G=\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\ln t}{1+t^2}dt$

알려진 자릿수

카탈랑 상수 G의 알려진 세계 신기록 자릿수는 지난 몇십년간 급격하게 증가하였다. 이는 컴퓨터 성능의 향상과 알고리즘적 개선으로 인한 것이다.

카탈랑 상수 G의 알려진 십진 자릿수

일자	십진 자릿수	발견자
1832년	16	토마스 클라우센
1858년	19	칼 요한 힐
1864년	14	외젠 샤를 카탈랑
1877년	20	제임스 위트브레드 리 글레이셔
1913년	32	제임스 위트브레드 리 글레이셔
1990년	20000	그래고리 J. 피
1996년	50000	그래고리 J. 피
1996년 8월 14일	100000	그래고리 J. 피 & 사이먼 플루프
1996년 9월 29일	300000	토마스 파파니콜라우
1996년	1500000	토마스 파파니콜라우
1997년	3379957	패트릭 데미첼
1998년 1월 4일	12500000	하비에르 구르동
2001년	100000500	하비에르 구르동 & 파스칼 세바
2002년	201000000	하비에르 구르동 & 파스칼 세바
2006년 10월	5000000000	시게루 콘도 & 스티브 파그리아룰로
2008년 8월	10000000000	시게루 콘도 & 스티브 파그리아룰로
2009년 1월 31일	15510000000	알랙산더 J. 리 & 래이먼드 찬
2009년 4월 16일	31026000000	알랙산더 J. 리 & 래이먼드 찬
2015년 6월 7일	200000001100	로버트 J. 세티
2016년 4월 12일	250000000000	론 왓킨스
2019년 2월 16일	300000000000	티지안 한셀만
2019년 3월 29일	500000000000	마이크 A & 이언 커트리스
2019년 7월 16일	600000000100	김승민

같이 보기

• 디리클레 베타 함수
• 수학 상수
• 조합론