마이셀-메르텐스 상수

해석적 수론에서, 마이셀-메르텐스 상수(영어: Meissel-Mertens constant)는 소수의 역수의 합의 부분합을 이중 자연로그로 근사한 오차를 나타내는 실수다. 기호는 $B$.

정의

마이셀-메르텐스 상수는 다음과 같다.

$B=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\sum _{p\le n}\frac{1}{p}-\ln \ln n)$

이 극한은 제2 메르텐스 정리에 따라 존재한다.

제2 메르텐스 정리의 표준적 증명은 다음과 같은 정의를 사용한다.

$B=1-\ln \ln 2+\underset{2}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{t{\ln }^{2}t}(\sum _{p\le t}\frac{\ln p}{p}-\ln t)dt$

그 밖에도,

$\begin{array}{cc}B& =\gamma +\sum _p(\frac{1}{p}+\ln (1-\frac{1}{p}))\\ & =\gamma +\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mu (n)}{n}\ln \zeta (n)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}(\sum _{k=1}^n\omega (k)-\ln \ln n)\end{array}$

이다.^{:65, (2.7)} 여기서 $\mu (n)$은 뫼비우스 함수, $\zeta (n)$은 리만 제타 함수, $\omega (n)$은 소인수 계량 함수이다.

값

마이셀-메르텐스 상수의 값은 다음과 같다 (OEIS의 수열 A077761).

$B=0.26149721284764278375\cdots$

응용

마이셀-메르텐스 상수는 소수의 역수의 합의 부분합의 점근적 근사(제2 메르텐스 정리)에 등장한다. 또한, 마이셀-메르텐스 상수는 소인수 계량 함수 $\omega (n)$의 부분합의 점근적 근사에 등장한다.

대중 문화

구글이 노텔 특허 경매에서 낸 3개의 입찰가 19억 216만 달러, 26억 1497만 달러, 31억 4159만 달러의 자릿수는 각각 브룬 상수, 마이셀-메르텐스 상수, 원주율의 자릿수에서 따왔다.

역사

에른스트 마이셀(독일어: Ernst Meissel)과 프란츠 메르텐스의 이름을 땄다.

같이 보기

• 쌍둥이 소수 상수