정수적 원소

가환대수학에서 정수적 원소(整數的元素, 영어: integral element)는 어떤 부분환에 계수를 갖는 일계수 다항식의 근으로 나타낼 수 있는 가환환 원소이다.

정의

가환환 $S$ 의 부분환 $R \subseteq S$ 및 $s \in S$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $s$ 를 $R$ 의 $S$ 에 대한 정수적 원소라고 한다.

$p (s) = 0$ 인 일계수 다항식 $p \in R [x]$ 가 존재한다.
$R$ 와 ${s}$ 로 생성되는 부분환 $R [s]$ 는 $R$ 의 유한 생성 가군이다.
$R [s] \subseteq \tilde{R}$ 이며 $R$ -유한 생성 가군을 이루는 부분환 $\tilde{R} \subseteq S$ 가 존재한다.
$s M \subseteq M$ 이며 ${Ann}_{S} (M) \cap R [s] = {0}$ 인 $R$ -유한 생성 가군 $M$ 이 존재한다.

여기서

$R [s] = {eval}_{x \mapsto s} (S [x]) = {p (s) : p \in S [x]} \subseteq S$ 이다.
${Ann}_{S} (M) = {a \in S : a M = {0_{M}}}$ 은 $M$ 의 소멸자이다.

가환환 $S$ 의 부분환 $R \subseteq S$ 에 대한 정수적 폐포(整數的閉包, 영어: integral closure)는 $R$ 에 대한 정수적 원소들의 집합이다. 이는 $S$ 의 부분환을 이룬다.

가환환 $S$ 는 그 전분수환 $Frac S$ 의 부분환이다. 만약 $S$ 의 $Frac S$ 속에서의 정수적 폐포가 $S$ 라면, $S$ 를 정수적으로 닫힌 가환환(整數的으로 닫힌 可換環, 영어: integrally closed commutative ring)이라고 한다.

도수

가환환 $S$ 의 부분환 $R \subseteq S$ 이 주어졌으며, $S$ 가 $R$ 위에서 정수적으로 닫혀 있다고 하자, $R$ -가군 $S / R$ 의 소멸자 ${Ann}_{R} (S / R) \subseteq R$ 를 $R$ 의 $S$ 속의 도수(導手, 영어: conductor 콘덕터^[*], 독일어: Führer 퓌러^[*], 프랑스어: conducteur 콩뒤크퇴르^[*]) $𝔣 (S / R)$ 라고 한다.^[1]^:79

𝔣 (S / R) = {Ann}_{R} (S / R) = {r \in R : r S \subseteq R}

이는 소멸자이므로 $R$ 의 아이디얼을 이루며, $R$ 의 아이디얼이자 $S$ 의 아이디얼이 되는 가장 큰 집합이다.

$R$ 가 정역이며, $S$ 가 $R$ 의 $Frac R$ 속의 정수적 폐포라고 하고, $S / R$ 가 $R$ -유한 생성 가군이라고 하자. 그렇다면 $R$ 의 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec R$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

$𝔭 \subseteq 𝔣 (S / R)$
국소화 $R_{𝔭}$ 는 $S$ 속에서 정수적으로 닫힌 국소환이다.
$(S / R) \otimes_{R} R_{𝔭} = 0$ 이다. 즉, $S \otimes_{R} R_{𝔭} = R_{𝔭}$ 이다.

$R$ -가군 $S / R$ 는 $Spec R$ 위의 가군층으로 여길 수 있으며, 그 지지 집합은 다음과 같이 도수 $𝔣 (S / R)$ 로부터 정의되는 (자리스키 위상에서의) 열린집합 $V (𝔣 (S / R))$ 의 여집합이다.

supp (S / R) = {𝔭 \in Spec R : (S / R) \otimes_{R} R_{𝔭} \neq 0} = {𝔭 \in Spec R : 𝔭 \subseteq̸ 𝔣 (S / R)} = (Spec R) ∖ V (𝔣 (S / R))

나가타 환

정역 $R$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-1환이라고 한다.

$R$ 의 $Frac R$ 속의 정수적 폐포 $S$ 는 $R$ -유한 생성 가군이다.

정역 $R$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, N-2환이라고 한다.

$Frac R$ 의 모든 유한 확대 $L / Frac R$ 에 대하여, $R$ 의 $L$ 속의 정수적 폐포는 $R$ -유한 생성 가군이다.

뇌터 가환환 $R$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 뇌터 가환환을 나가타 환(영어: Nagata ring)이라고 한다.^[2]^:264

임의의 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec R$ 에 대하여, 몫환 $R / 𝔭$ 는 N-2환이다.
임의의 정역 $S$ 및 환 준동형 $R \to S$ 에 대하여, 만약 이를 통하여 $S$ 가 $R$ -유한 생성 가군을 이룬다면, $S$ 는 N-2환이다.

정환

정역 $R$ 및 그 분수체 $K = Frac R$ 가 주어졌다고 하자. $K$ -단위 결합 대수 $A$ 에 대하여, $A$ 속의 $R$ -정환(整環, 영어: order, 독일어: Ordnung) $ℴ \subseteq A$ 는 다음 조건들을 만족시키는 $A$ 의 부분환이다.

$ℴ$ 는 $K$ -단위 결합 대수이다.
$ℴ$ 는 $R$ -자유 가군이다. (즉, $R$ -격자를 이룬다.)
$K ℴ = A$ 이다.

$A$ 속의 $R$ -정환들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합을 이룬다.

$A$ 가 가환환일 때, $A$ 속의 $R$ -정환 $ℴ \subset A$ 의 모든 원소는 $R$ -정수적 원소이다. 따라서, 최대 $R$ -정환이 존재하며, 이는 $R$ 의 $A$ 속의 정수적 폐포이다. (이는 $A$ 가 비가환환일 때 성립하지 않는다. 이 경우 모든 정환은 극대 정환에 속하지만, 최대 정환은 일반적으로 존재하지 않는다.)

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

가환환 ⊋ 정역 ⊋ 정수적으로 닫힌 정역 ⊋ 크룰 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∪ 데데킨트 정역 ⊋ 유일 인수 분해 정역 ∩ 데데킨트 정역 = 주 아이디얼 정역 ⊋ 유클리드 정역 ⊋ 체

정수적으로 닫힐 필요충분조건

정역 $S$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

정수적으로 닫힌 가환환이다.
임의의 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec S$ 에 대하여, 국소화 $S_{𝔭}$ 는 정수적으로 닫힌 국소환이다.
임의의 극대 아이디얼 $𝔪 \subseteq S$ 에 대하여, $S_{𝔪}$ 은 정수적으로 닫힌 국소환이다.

뇌터 정역 $R$ 에 대하여 다음 두 조건들이 서로 동치이다.

정수적으로 닫힌 가환환이다.
다음 두 조건이 성립한다.
- $R$ 는 높이가 1인 소 아이디얼 $𝔭$ 들에 대한 국소화 $R_{𝔭} \subseteq Frac R$ 들의 (분수체 $Frac R$ 속에서의) 교집합이다.
  $R = ⋂_{𝔭 \in Spec R}^{ht 𝔭 = 1} R_{𝔭} \subseteq Frac R$
- 임의의 높이가 1인 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec R$ 에 대하여, $R_{𝔭}$ 는 이산 값매김환이다.

크룰 차원이 1인 뇌터 국소 정역 $(R, 𝔪)$ 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

$R$ 는 정수적으로 닫힌 가환환이다.
$𝔪$ 은 주 아이디얼이다.
$R$ 는 이산 값매김환이다.
$R$ 는 데데킨트 정역이다.
$R$ 는 정칙 국소환이다.

코언-사이던버그 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

가환환 $S$
$S$ 의 부분환 $R \subseteq S$ . 또한, $S$ 의 모든 원소는 $R$ -정수적 원소이다.
$R$ -소 아이디얼들의 사슬 $(𝔭_{i})_{1 \leq i \leq k}$ 및 $S$ -소 아이디얼들의 사슬 $(𝔮_{i})_{m \leq i \leq n}$ ( $1 \leq m \leq n \leq k$ ). 또한, $m \leq i \leq n$ 에 대하여 $𝔮_{i} ∣ 𝔭_{i}$ 이다. 즉, $𝔮_{i} \cap R = 𝔭_{i}$ 이다.
$\begin{matrix} 𝔮_{m} \subseteq \dots \subseteq 𝔮_{n} & \subseteq S \\ 𝔭_{1} & \subseteq \dots \subseteq & 𝔭_{m - 1} & \subseteq & 𝔭_{m} \subseteq \dots \subseteq 𝔭_{n} & \subseteq & 𝔭_{n + 1} & \subseteq \dots \subseteq & 𝔭_{k} & \subseteq R \end{matrix}$

또한, 다음 두 조건 가운데 하나가 성립한다고 하자.

$S$ 는 정역이며, $R$ 는 ( $Frac R$ 속에서) 정수적으로 닫힌 정역이다.
$m = 1$ 이다.

그렇다면, 코언-사이던버그 정리(영어: Cohen–Seidenberg theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

$𝔮_{i} ∣ 𝔭_{i} \forall 1 \leq i \leq k$ 가 되게 소 아이디얼 사슬 ${𝔮_{i}}$ 를 연장시킬 수 있다. 즉, 다음이 성립하는 $S$ -소 아이디얼 ${𝔮_{i}}_{i \in {1, \dots, m - 1, n + 1, \dots, k}}$ 가 존재한다.
$\begin{matrix} \exists 𝔮_{1} & \subseteq \dots \subseteq & \exists 𝔮_{m - 1} & \subseteq & 𝔮_{m} \subseteq \dots \subseteq 𝔮_{n} & \subseteq & \exists 𝔮_{n + 1} & \subseteq \dots \subseteq & \exists 𝔮_{k} & \subseteq S \\ 𝔭_{1} & \subseteq \dots \subseteq & 𝔭_{m - 1} & \subseteq & 𝔭_{m} \subseteq \dots \subseteq 𝔭_{n} & \subseteq & 𝔭_{n + 1} & \subseteq \dots \subseteq & 𝔭_{k} & \subseteq R \end{matrix}$

여기서 $𝔮_{i} ∣ 𝔭_{i}$ 라는 것은 $(𝔮_{i}) \cap R = 𝔭_{i}$ 임을 뜻한다.

즉, 정수적 확대에 대하여 소 아이디얼의 사슬을 위로 연장할 수 있으며(영어: going up), 추가 조건 아래 소 아이디얼의 사슬을 아래로도 연장할 수 있다(영어: going down).

크룰-아키즈키 정리

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$R$ 는 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 축소환이다. $K = Frac R$ 는 그 전분수환이다.
$L$ 은 가환환이며, 단사 함수인 환 준동형 $ι : K ↪ L$ 이 주어져 있다. 또한, 덧셈 몫군 $L / K$ 는 유한군이다.
$S \subseteq L$ 은 $R$ 의 $L$ 속의 정수적 폐포이다.

크룰-아키즈키 정리(Krull-[秋月]定理, 영어: Krull–Akizuki theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

$S$ 역시 크룰 차원이 1인 가환 뇌터 환이다.
$S$ 의 임의의 아이디얼 $𝔞 \subseteq S$ 에 대하여, 만약 $𝔞$ 가 영 아이디얼이 아니라면, 덧셈 몫군 $(S / 𝔞) / (R / (R \cap 𝔞))$ 는 유한군이다. (그러나 덧셈 몫군 $S / R$ 는 유한군이 아닐 수 있다. 즉, 이는 $𝔞$ 가 영 아이디얼일 때 성립하지 못할 수 있다.)
만약 $R$ 가 추가로 데데킨트 정역이라면, $S$ 역시 데데킨트 정역이다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

$R$ 는 가환 뇌터 축소환이다. $K = Frac R$ 는 그 전분수환이다.
$S$ 는 $R$ 의 $K$ 속의 정수적 폐포이다.
$R$ 는 $n$ 개의 극소 소 아이디얼 (소 아이디얼들의 포함 관계에 대한 극소 원소, 즉 높이가 0인 소 아이디얼)들을 갖는다.

모리-나가타 정리([森]-[永田]定理, 영어: Mori–Nagata theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.

$S$ 는 $n$ 개의 크룰 정역들의 직접곱이다.

이는 크룰-아키즈키 정리의 고차원 가환환에 대한 부분적 일반화이다.

역사

코언-사이던버그 정리는 어빈 솔 코언과 에이브러햄 사이던버그(영어: Abraham Seidenberg, 1916~1988)가 증명하였다.

크룰-아키즈키 정리는 볼프강 크룰과 아키즈키 야스오(일본어: 秋月康夫, 1902~1984)가 증명하였다.

모리-나가타 정리는 모리 요시로(일본어: 森誉四郎)^[3]와 나가타 마사요시^[4] 가 증명하였다.

같이 보기

각주

↑ Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Norbert Schappacher 역. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
↑ Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative Ring Theory》 2판 (영어). Miles Reid 역. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.
↑ Mori, Yoshiro (1953). “On the integral closure of an integral domain” (영어). 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 27: 249–256. MR 0058583.
↑ Nagata, Masayoshi (1955). “On the derived normal rings of Noetherian integral domains” (영어). 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 29: 293–303. MR 0097388.

외부 링크

“Integral extension of a ring” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Conductor of an integral closure” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Order” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Integrally closed” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Integral closure” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Number field order” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Maximal order” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Stankewicz, Jim (2009년 7월 2일). “Dedekind domains, Krull-Akizuki and the Picard group” (영어). 《Rigorous Trivialities》.

[1] Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》 (영어). Norbert Schappacher 역. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 322. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021.

[2] Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative Ring Theory》 2판 (영어). Miles Reid 역. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461.

[3] Mori, Yoshiro (1953). “On the integral closure of an integral domain” (영어). 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 27: 249–256. MR 0058583.

[4] Nagata, Masayoshi (1955). “On the derived normal rings of Noetherian integral domains” (영어). 《Memoirs of the College of Science, University of Kyoto. Series A: Mathematics》 29: 293–303. MR 0097388.

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