크룰 차원

가환대수학과 대수기하학에서 크룰 차원(Krull次元, 영어: Krull dimension)은 가환환에 대한 차원의 일종이다. 소 아이디얼로 이루어진 진부분집합들의 사슬들의 크기의 상한이다.

정의

위상 공간의 차원

위상 공간 $X$의 기약 집합(영어: irreducible set)은 기약 공간이며 공집합이 아닌 닫힌집합이다.^:3 (이는 아핀 스킴의 경우 소 아이디얼에 대응한다.) $X$의 크룰 차원은 $X$의 기약 집합들의 사슬

$I_0⊊I_1⊊\cdots I_{n-1}⊊I_n$

의 길이들의 상한 $n\in \mathbb{N}\cup \{+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty }\}$이다.^:5 만약 기약 집합이 아예 존재하지 않을 경우 (즉, 공간이 공집합인 경우), 크룰 차원은 $-\mathrm{\infty }$이다.

보통, 스킴의 차원이란 이 크룰 차원을 말한다. 이 정의에 따라 자명환의 스펙트럼의 크룰 차원은 $-\mathrm{\infty }$이다.

위상 공간 $X$의 열린 덮개 $\{U_i{\}}_{i\in I}$가 주어졌을 때, 다음이 성립한다.

$\dim X=\underset{i\in I}{\sup }\dim U_i$

가군의 차원

가환환 $R$ 위의 가군 $M$의 크룰 차원은 다음과 같다.^:226

${\dim }_{R}M=\dim \mathrm{Spec}(R/{\mathrm{Ann}}_R(M))$

여기서 ${\mathrm{Ann}}_R(M)$은 $M$의 소멸자이며, $\mathrm{Spec}$은 환의 스펙트럼이다. 대수기하학적으로, 이는 $M$을 $\mathrm{Spec}R$ 위의 가군층으로 여겼을 때, 그 지지 집합의 차원에 해당한다.

아이디얼의 높이

가환환 $R$의 소 아이디얼 $𝔭$의 높이(영어: height) ${\mathrm{ht}}_R𝔭$는 다음과 같은 소 아이디얼의 사슬의 최대 길이 $n$이다.

${𝔭}_0⊊{𝔭}_1⊊{𝔭}_2⊊\cdots ⊊{𝔭}_n\subseteq 𝔭$

이는 국소화 $R_{𝔭}$의 크룰 차원과 같다.

$\dim R_{𝔭}={\mathrm{ht}}_R𝔭$

가환환 $R$의 아이디얼 $𝔞$의 높이(영어: height) ${\mathrm{ht}}_R𝔞$는 $𝔞$를 포함하는 소 아이디얼들의 높이의 하한이다.

${\mathrm{ht}}_R𝔞=\underset{𝔞\subseteq 𝔭\in \mathrm{Spec}R}{\inf }{\mathrm{ht}}_R𝔭$

(초른 보조정리에 따라, $𝔞$를 포함하는 극대 아이디얼이 항상 존재하며, 극대 아이디얼은 소 아이디얼이므로 이는 항상 공집합이 아니다.)

대수기하학적으로, 이는 $\mathrm{Spec}(R/𝔞)\subseteq \mathrm{Spec}R$의 여차원과 같다.

${\mathrm{codim}}_R(R/𝔞)={\mathrm{ht}}_R𝔞$

성질

가환환의 차원

$R$가 (1을 갖춘) 가환환이라고 하자. 만약 $R$의 소 아이디얼들 ${𝔭}_i$가 다음과 같은 진부분집합의 사슬

${𝔭}_0⊊{𝔭}_1⊊{𝔭}_2⊊\cdots ⊊{𝔭}_n$

을 이룰 때, 음이 아닌 정수 $n$을 집합 $H(R)\subset \mathbb{N}$의 원소로 정의하자. 그렇다면 가환환 $R$의 크룰 차원은 $H(R)$의 상한이다.^:6 즉,

$\dim R=\sup H(R)\in \mathbb{N}\bigsqcup \{\mathrm{\infty }\}$ 자명환의 경우, 크룰 차원은 $-\mathrm{\infty }$이다.

그렇다면, 다음 세 개의 차원들이 서로 같다.

• $R$의 환으로서의 크룰 차원
• 스펙트럼 $\mathrm{Spec}R$의 크룰 차원
• $R$를 스스로 위의 가군으로 여겼을 때, $R$의 가군 크룰 차원

가환환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 체이다.
• 크룰 차원이 0인 정역이다.

가환환 $R$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:227, Corollary 9.1:90, Theorem 8.5}

• 아르틴 환이다.
• 크룰 차원이 0인 뇌터 환이다.

일반적인 가환환 $R$에 대하여, 다음이 성립한다.

$\dim R+1\le \dim R[x]\le 2\dim R+1$

만약 $R$가 뇌터 환이라면, 다음이 성립한다.^{:Corollary 10.13}

$\dim R[x]=1+\dim R$

대수다양체의 차원

대수적으로 닫힌 체 위의 대수다양체의 크룰 차원은 유한하며, 쌍유리 변환 아래 불변량이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 아핀 대수다양체 $V=\mathrm{Spec}K[x_1,\dots ,x_n]/𝔭$ ($𝔭$는 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^:124–125

• $V$의 크룰 차원이 $d$이다.
• $V$의 임의의 비특이점에서의 뇌터 국소환의 크룰 차원이 $d$이다.
• $V$의 유리 함수체 $\Gamma (V,{𝒦}_V)=\mathrm{Frac}(K[x_1,\dots ,x_n/𝔭)$의 $K$에 대한 초월 차수가 $d$이다.
• $K[x_1,\dots ,x_n]/𝔭$의 힐베르트 다항식이 $d$차 다항식이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$에 대한 사영 대수다양체 $V=\mathrm{Proj}K[x_0,x_1,\dots ,x_n]/𝔭$ ($𝔭$는 동차 소 아이디얼)에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $V$의 크룰 차원이 $d$이다.
• $V$의 임의의 비특이점에서의 국소환의 크룰 차원이 $d$이다.
• $K[x_0,\dots ,x_n]/𝔭$의 $K$에 대한 초월 차수가 $d+1$이다.

뇌터 국소환의 차원

뇌터 국소환 $(R,𝔪)$의 차원은 다음과 같이 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.^:119 이들은 모두 같으며, 항상 유한하다.

• $R$의 크룰 차원 $\dim R$
• $R$에서, $R/(r_1,r_2,\dots ,r_{\delta })$가 자명환이 아닌 아르틴 환이 되는 아이디얼 $(r_1,\dots ,r_{\delta })$의 생성원들의 최소 크기 $\delta$
• $𝔮$가 임의의 $𝔪$-으뜸 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 형식적 멱급수
  $P(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\ell ({𝔮}^n/{𝔮}^{n+1}))t^n\in \mathbb{Z}[[t]]$
  를 정의할 수 있다 (${𝔮}^0=R$, $\ell$은 가군의 길이). 이는 항상 유리 함수이며, $P(t)\in \mathbb{Z}(t)$의 $t=1$에서의 극점의 차수를 $d$라고 하자. 이 값은 $𝔮$의 선택에 관계없다.

이렇게 정의하면, 항상

$\dim R=\delta =d<\mathrm{\infty }$

이다.

정칙 국소환의 차원

정칙 국소환 $(R,𝔪)$의 차원은 다음과 같이 정의할 수 있으며, 이 정의들은 모두 같다.^{:123, Theorem 11.22}

• 뇌터 국소환으로서의 차원 $\dim R$ (모든 정칙 국소환은 뇌터 국소환이다.)
• ${\dim }_{R/𝔪}(𝔪/{𝔪}^2)$. 여기서 ${\dim }_{R/𝔪}$은 체 $R/𝔪$ 위의 벡터 공간의 차원이다.
• $𝔪$의 최소 생성 집합의 크기
• ${⨁}_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{𝔪}^n/{𝔪}^{n+1}\cong (R/𝔪)[x_1,x_2,\dots ,x_d]$일 때, $d$. 여기서 ${𝔪}^0=R$이다.

예

가환환의 차원

크룰 차원이 $-\mathrm{\infty }$인 유일한 가환환은 자명환이다.

체의 소 아이디얼은 (0)뿐이다. 따라서 모든 체는 크룰 차원이 0이다. 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 0이 아닌 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 따라서 체가 아닌 주 아이디얼 정역의 크룰 차원은 1이다.

$k$가 체라고 하자. 그렇다면 $k[x]$는 주 아이디얼 정역이므로 $\dim k[x]=1$이다. 보다 일반적으로, $\dim k[x_1,x_2,\dots ,x_n]=n$이다.^:6

자연수 $n\in \mathbb{N}$에 대하여, 가환환 $\mathbb{Z}/(n)$의 크룰 차원은 다음과 같다.

$\dim \mathbb{Z}/(n)=\{\begin{array}{cc}1& n=0\\ -\mathrm{\infty }& n=1\\ 0& n\ne 0,1\end{array}$

위상 공간의 차원

위상 공간의 크룰 차원은 자리스키 위상과는 잘 호환되지만, 하우스도르프 위상과는 호환되지 않는다. 하우스도르프 공간의 경우, 기약 집합은 한원소 집합이며, 따라서 공집합이 아닌 하우스도르프 공간의 차원은 항상 0이다.

시에르핀스키 공간 $X=\{0,1\}$, $𝒯=\{\varnothing ,\{1\},X\}$의 기약 집합은 $\{0\}$ 및 $\{0,1\}$이므로, 시에르핀스키 공간의 크룰 차원은 1이다.

벡터 공간의 크룰 차원

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$의 가군으로서의 크룰 차원은 항상 0이다. 이 경우 ${\mathrm{Ann}}_K(V)=(0)$이며, $\mathrm{Spec}(K/(0))=\mathrm{Spec}K$는 항상 한원소 공간으로서 크룰 차원이 0차원이다. 즉, 가군의 크룰 차원은 벡터 공간의 차원과 관계가 없다.

무한 차원의 뇌터 가환환

체 $K$에 대하여, 무한 개의 변수의 다항식환

$R=K[x_1,x_2,x_3,\dots ]$

를 생각하자. 임의의 증가 정수열

$0=n_1<n_2<n_3<n_4<\cdots$

가 주어졌을 때, 소 아이디얼들의 열

${𝔭}_i=(x_{n_{i-1}+1},x_{n_{i-1}+2},\dots ,x_n)(i=1,2,3,\dots )$

을 생각하자. 그렇다면 $R$를

$S=K[x_1,x_2,x_3,\dots ]\setminus \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{𝔭}_i$

에 국소화하면, $S^{-1}R$는 뇌터 환이며, 그 크룰 차원은

$\dim S^{-1}R=\sup \{n_i-n_{i-1}:i\in {\mathbb{Z}}^{+}\}$

이다. 만약 $\sup \{n_i-n_{i-1}:i\in {\mathbb{Z}}^{+}\}=\mathrm{\infty }$라면, 이는 무한 크룰 차원의 뇌터 환이 된다. 이 예는 나가타 마사요시가 제시하였다.^{:Appendix, Example E1:229, Exercise 9.6}

역사

볼프강 크룰이 1928년 크룰 높이 정리를 증명하면서 그 기본 개념을 도입하였다.

같이 보기

• 호몰로지 차원
• 기약 공간
• 크룰 높이 정리

외부 링크

• “Dimension” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Krull dimension” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.