정규 스킴

대수기하학에서 정규 스킴(正規scheme, 영어: normal scheme)은 모든 국소환이 정수적으로 닫힌 정역인 스킴이다.

정의

국소환 달린 공간 $(X, 𝒪_{X})$ 에서, 만약 모든 $x \in X$ 에 대하여 구조층의 줄기 $𝒪_{X, x}$ 가 정수적으로 닫힌 정역인 국소환이라면, $(X, 𝒪_{X})$ 를 정규 국소환 달린 공간(영어: normal locally ringed space)이라고 한다.

정규 스킴은 정규 국소환 달린 공간인 스킴이다.^[1]^{:91, Exercise II.3.8} 정규환(正規環, 영어: normal ring) $R$ 는 그 스펙트럼 $Spec R$ 가 정규 스킴인 가환환이다. 즉, 임의의 소 아이디얼 $𝔭$ 에 대하여, 국소화 $R_{𝔭}$ 가 정수적으로 닫힌 정역인 경우이다.

정규화

임의의 기약 축소 스킴 $X$ 에 대하여, 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 기약 정규 스킴 $\tilde{X}$ 및 스킴 사상 $ν : \tilde{X} \to X$ 가 존재하며, 이를 $X$ 의 정규화(영어: normalization)라고 한다.^[1]^{:91, Exercise II.3.8}

임의의 기약 정규 스킴 $Y$ 및 우세 사상 $f : Y \to X$ 에 대하여, $f = ν \circ \tilde{f}$ 가 되는 스킴 사상 $\tilde{f} : Y \to \tilde{X}$ 가 유일하게 존재한다.
$\begin{matrix} \forall Y & \overset{\exists!}{\to} & \tilde{X} \\ \forall ↘ & ↓ \\ X \end{matrix}$

이는 구체적으로 다음과 같이 구성된다. $X$ 위에 열린 아핀 스킴들로 구성된 열린 덮개 ${Spec R_{i}}_{i \in I}$ 를 잡았을 때, 각 $R_{i}$ 의 정수적 폐포 ${\tilde{R}}_{i}$ 들의 스펙트럼 ${Spec {\tilde{R}}_{i}}_{i \in I}$ 을 이어붙여 스킴 $\tilde{X}$ 를 구성할 수 있다. 자연스러운 사상 $\tilde{X} \to X$ 는 가환환의 포함 준동형 $R_{i} ↪ {\tilde{R}}_{i}$ 으로부터 유도된다.

만약 $X$ 가 기약 스킴이 아닌 축소 스킴이라면, 그 정규화는 $X$ 의 각 기약 성분 $X_{i}$ 의 정규화 ${\tilde{X}}_{i}$ 들의 분리합집합

\tilde{X} = ⨆_{i} {\tilde{X}}_{i}

으로 정의된다.

성질

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

축소 스킴 ⊋ 정규 스킴 ⊋ 정칙 스킴 ⊋ 체 위의 매끄러운 스킴

세르 조건

뇌터 가환환 $R$ 에 대하여, 다음과 같은 조건들을 정의하자.

R_k: 모든 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec R$ 에 대하여, 만약 $ht 𝔭 \leq k$ 라면, 국소화 $R_{𝔭}$ 는 정칙 국소환이다. 여기서 $ht$ 는 아이디얼의 높이이다.
S_k: 모든 소 아이디얼 $𝔭 \in Spec R$ 에 대하여, $depth R_{𝔭} \geq \min {k, ht 𝔭}$ . 여기서 $depth$ 는 (스스로 위의 가군으로서의, 유일한 극대 아이디얼에 대한) 깊이이다.

세르 조건(영어: Serre’s criterion)에 따르면, 뇌터 가환환의 경우, 다음 표에서 각 행에 적힌 두 조건이 서로 동치이다.

조건	뇌터 가환환에 대하여 동치인 조건
정규환	R₁ + S₂
축소환	R₀ + S₁
코언-매콜리 환	S_∞

대수기하학적으로, 정규 스킴의 세르 조건에서, R₁ 조건은 대략 "여차원 1의 특이 부분 집합이 존재하지 않음"을 뜻한다. 마찬가지로, 대수기하학적으로 S₂ 조건은 하르톡스 확장정리에 해당한다.

정규 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$X$ 는 정규 대수다양체이다.
$K$ 위의 임의의 대수다양체 $Y$ 및 ( $Y$ 전체에 정의된) 및 임의의 유한 쌍유리 사상 $f : Y \to X$ 에 대하여, $f$ 는 (대수다양체의) 동형 사상이다.

이는 정수적으로 닫힌 정역의 정의를 그대로 기하학적으로 번역한 것이다. 즉, $x \in X$ 에 대하여 $R = 𝒪_{X, x}$ 라고 놓으면, 모든 환 $S$ 에 대하여, 만약 다음 두 조건

(쌍유리 사상) $R \subseteq S \subseteq Frac R = Frac S$
(유한 사상) $S$ 는 $R$ 위의 유한 생성 가군

이 성립한다면, $R = S$ 이어야 한다.

역사

정규 스킴의 개념은 오스카 자리스키가 1939년에 도입하였다.^[2]

각주

↑ ^가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.
↑ Zariski, Oscar (1939). “Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties.” (영어). 《American Journal of Mathematics》 61 (2): 249–294. doi:10.2307/2371499. JSTOR 2371499. MR 1507376.

외부 링크

“Normal scheme” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Normal analytic space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Normal variety” (영어). 《nLab》.
“What are normal schemes intuitively?” (영어). StackExchange. 2016년 4월 26일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 18일에 확인함.
“Is there a “geometric” intuition underlying the notion of normal varieties?” (영어). Math Overfloow. 2016년 10월 23일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 18일에 확인함.
Siegel, Charles (2008년 7월 8일). “Normalization and normal varieties” (영어). 《Rigorous Trivialities》. 2016년 6월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 4월 18일에 확인함.

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[Hartshorne-1] 가 ^나 Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001.

[2] Zariski, Oscar (1939). “Some Results in the Arithmetic Theory of Algebraic Varieties.” (영어). 《American Journal of Mathematics》 61 (2): 249–294. doi:10.2307/2371499. JSTOR 2371499. MR 1507376.

[1]

[2]