가군의 깊이

가환대수학에서 깊이(영어: depth)는 가군의 “크기”를 측정하는 정수이다. 국소환의 경우 이는 크룰 차원 이하이며, 사영 차원과 깊은 관계를 갖는다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 가환환 $R$
• $R$의 아이디얼 $𝔞$
• $R$의 유한 생성 가군 $M$. 또한, $𝔞M⊊M$이라고 하자.

그렇다면 다음 두 정수가 서로 같으며, 이를 $M$의 $𝔞$-깊이(영어: $𝔞$-depth) ${\mathrm{depth}}_{𝔞}(M)$라고 한다.

• $\min \{n:{\mathrm{Ext}}_R^n(R/𝔞,M)\ne 0\}$. 즉, Ext 함자가 0이 아니게 되는 가장 작은 차수^{:450, Proposition 18.4}
• $𝔞$에 포함된 $M$의 정칙렬의 최대 길이^:425

성질

가환 뇌터 국소환 $(R,𝔪)$ 위의 유한 생성 가군 $M$의 경우, 그 깊이는 크룰 차원 이하이다.

${\mathrm{depth}}_{𝔪}M\le {\dim }_{R}M$

또한, 다음이 성립한다.

• ${\mathrm{depth}}_{𝔪}M=0⟺𝔪\in {\mathrm{Ass}}_{R}M$

여기서 ${\mathrm{Ass}}_{R}M\subseteq \mathrm{Spec}R$은 $M$의 연관 소 아이디얼들의 집합이다.

오슬랜더-북스바움 공식

다음이 주어졌다고 하자.

• 뇌터 가환 국소환 $(R,𝔪)$
• $R$ 위의 유한 생성 가군 $M$. 또한, $-\mathrm{\infty }<{\mathrm{pd}}_{R}M<\mathrm{\infty }$이라고 하자 ($\mathrm{pd}$는 사영 차원).

그렇다면 다음이 성립한다 (오슬랜더-북스바움 공식 영어: Auslander–Buchsbaum formula).^{:Theorem 3.7}

${\mathrm{pd}}_{R}M+{\mathrm{depth}}_{𝔪}M={\mathrm{depth}}_{𝔪}R$

외부 링크

• “Depth of a module” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Depth of an ideal” (영어). 《Commalg》.