천-베유 준동형

미분기하학에서 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군의 작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식을 드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다.

정의

다음이 주어졌다고 하자.

• 연결 콤팩트 리 군의 복소화인 복소수 리 군 $G$

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

• $G$의 복소수 리 대수 $𝔤=\mathrm{Lie}(G)$
• $𝔤$ 위의 다항식환 $ℂ[𝔤]$
• $ℂ[𝔤]$ 위의 $G$의 딸림표현 작용. 이에 따라 $ℂ[𝔤]$는 군환 $ℂ[G]$의 왼쪽 가군을 이룬다.

  $(g\cdot p)(x)=p({\mathrm{Ad}}_{g}x)(g\in G,p\in ℂ[𝔤],x\in 𝔤)$

• $G$의 작용에 대한 불변량 부분 대수 $ℂ[𝔤{]}^G$.

  $ℂ[𝔤{]}^G=\{p\in ℂ[𝔤]:p=g\cdot p\}$

• $G$의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.

  $ℂ[𝔤{]}^G=\underset{k=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{ℂ}_k[𝔤{]}^G$

  $p\in {ℂ}_k[𝔤{]}^G⟺\mathrm{\forall }\lambda \in ℂ,x\in 𝔤:p(\lambda x)={\lambda }^{k}p(x)$

• 동차 다항식 $p\in {ℂ}_k[𝔤{]}^G$에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 $k$개의 변수를 갖는 함수 $\overline{p}:{𝔤}^{\oplus k}\to ℂ$가 존재한다.

  $\overline{p}(x,\dots ,x)=p(x)\mathrm{\forall }x\in 𝔤$

  $\overline{p}(x_1,\dots ,x_k)=\overline{p}(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)})\mathrm{\forall }\sigma \in \mathrm{Sym}(k),(x_i{)}_{1\le i\le k}\in {𝔤}^{\oplus k}$

또한, 다음이 주어졌다고 하자.

• 매끄러운 다양체 $M$
• $G$-매끄러운 주다발 $\pi :P\twoheadrightarrow M$

그렇다면, 천-베유 준동형은 다음과 같은 $ℂ$-결합 대수 준동형이다.

$ℂ[𝔤{]}^G\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;ℂ)$

추상적 정의

리 군 $G$에 대하여, 분류 공간 $\mathrm{E}G\twoheadrightarrow \mathrm{B}G$를 생각하자. ($G$의 기본군은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{B}G;ℂ)\cong ℂ[𝔤{]}^G$

(복소수 계수이므로, 좌변은 $G$의 기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다.

이에 따라, $G$-주다발 $P$는 어떤 연속 함수

$f:M\to \mathrm{B}G$

에 의하여

$P=f^{*}\mathrm{E}B$

로서 주어진다. 또한, 이 $f$는 코호몰로지 환의 등급환 준동형

$f^{*}:{\mathrm{H}}^{\bullet }(\mathrm{B}G;\mathbb{Z})\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;\mathbb{Z})$

을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면, $f^{*}$는 등급환 준동형

$ℂ[𝔤{]}^G\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;ℂ)$

을 정의한다. 이를 천-베유 준동형이라고 한다.

콤팩트 실수 리 군 $G$은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다.

구체적 정의

천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선, $P$ 위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률이

$F\in {\Omega }^2(P;𝔤)$

라고 하자. 그렇다면, $p\in {ℂ}_k[𝔤{]}^G$에 대하여 다음을 정의하자.

$p(F)\in {\Omega }^{2k}(P;𝔤)$

$p(F)(v_1,\dots ,v_{2k})=\frac{1}{(2k)!}\sum _{\sigma \in \mathrm{Sym}(2k)}(-{)}^{\sigma }\overline{p}(F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dots ,F(v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)}))$

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

• $s\in P$는 주다발 전체 공간의 점
• $v_1,\dots ,v_{2k}\in {\mathrm{T}}_{s}P$는 주다발의 한 접공간의 $2k$ 개의 벡터들
• $(-{)}^{\sigma }$는 순열의 부호수
• $\mathrm{Sym}(2k)$는 크기 $(2k)!$의 대칭군

그렇다면, 다음을 보일 수 있다.

• $p$의 $G$-불변성에 의하여, $p(F)$는 $P$ 위의 닫힌 미분 형식이다. 즉, $\mathrm{d}p(F)=0$이다.
• $p(\Omega )={\pi }^{*}{\alpha }_F$가 되는 유일한 미분 형식 ${\alpha }_F\in {\Omega }^{2k}(M;ℂ)$가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.
• 또한, ${\alpha }_F$는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류 $[{\alpha }_F]\in {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;ℂ)$는 주접속에 의존하지 않는다.

이에 따라, 천-베유 준동형은 다음과 같다.

$ℂ[𝔤{]}^G\to {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;ℂ)$

$p\mapsto [{\alpha }_F]$

예

1차 천 특성류

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 천 특성류입니다.

$\mathrm{GL}(1;ℂ)={ℂ}^{\times }$ (또는 이에 대응하는 콤팩트 군 $\mathrm{U}(1)$)을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간

$\mathrm{B}\mathrm{U}(1)\simeq {ℂ\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty }}$

이며, 그 유리수 계수 코호몰로지는 설리번 대수

${\mathrm{H}}^{\bullet }({ℂ\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty }};ℂ)={\mathrm{Span}}_{ℂ}\{1,x,x^2,\dots \}$

$\mathrm{deg}x=2$

$\mathrm{d}x=0$

이다.

${ℂ}^{\times }$는 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우

$ℂ[x]\cong {\mathrm{H}}^{\bullet }({ℂ\mathrm{P}}^{\mathrm{\infty }};ℂ)$

이다.

${ℂ}^{\times }$-주다발은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류

$p(x)\mapsto p({\mathrm{c}}_1(F))$

로서 주어진다.

천 특성류

섬네일을 만드는 중 오류 발생:  이 부분의 본문은 천 특성류입니다.

보다 일반적으로, $G=\mathrm{GL}(n;ℂ)$-매끄러운 주다발을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.

$p(x)=\det (1-\frac{x}{2\pi \mathrm{i}})(x\in 𝔤𝔩(n;ℂ))$

$p\in ℂ[𝔤𝔩(n;ℂ){]}^{\mathrm{GL}(n;ℂ)}$

그렇다면, 이에 대응하는 특성류는 총 천 특성류

$\mathrm{c}(P)\in {\mathrm{H}}^{\bullet }(M;\mathbb{Z})$

이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여

$\sum _{k=0}^n{t}^k{p}_k(x)=\det (1-\frac{tx}{2\pi \mathrm{i}})(t\in ℂ,x\in 𝔤𝔩(n;ℂ))$

$p_k\in {ℂ}_k[𝔤𝔩(n;ℂ){]}^{\mathrm{GL}(n;ℂ)}$

$k$차 천 특성류

${\mathrm{c}}_k(P)\in {\mathrm{H}}^{2k}(M;\mathbb{Z})$

를 정의할 수 있다.

이 경우, $\mathrm{GL}(n;ℂ)$-주다발 $P$ 대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) 연관 다발

$E=P{\times }_{\mathrm{GL}(n;ℂ)}{ℂ}^n$

을 사용하여

${\mathrm{c}}_k(E)={\mathrm{c}}_k(P)\in {\mathrm{H}}^{2k}(M;\mathbb{Z})$

로 적을 수 있다.

역사

1940년대 말에 천싱선과 앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,^{:64–65, §Ⅲ.6} 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.

“	나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다. I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with André Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ.	”
	— :0, §Introduction

각주

• Bott, R. (1973), “On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, 《Advances in Mathematics》 11: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
• Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
• Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 .
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), 《Foundations of Differential Geometry, Vol. 2》 new판, Wiley-Interscience (2004에 출판됨) .
• Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, 《Amer. J. Math.》 83: 563–572, doi:10.2307/2372896, JSTOR 2372896 .
• Morita, Shigeyuki (2000), “Geometry of Differential Forms”, 《Translations of Mathematical Monographs》 201 .

외부 링크

• “Chern-Weil theory” (영어). 《nLab》. 
• “Chern-Weil homomorphism” (영어). 《nLab》. 
• “Splitting principle” (영어). 《nLab》. 
• Han, Fei (2003년 11월 1일). “Chern–Weil theory and some results on classical genera” (PDF) (영어).