미분 형식

미분기하학에서 미분 형식(微分形式, 영어: differential form)은 매끄러운 다양체의 여접다발의 외승의 단면이다.^[1]^[2] 적분의 라이프니츠 표기법에 등장하는 $d x$ , $d y$ 따위를 엄밀하게 정의한 것으로, $p$ 차원의 다양체에서는 $p$ -형식을 자연스럽게 적분할 수 있다.

정의

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 공변접다발 $T^{*} M$ 은 $n$ 차원 벡터 다발이다. 여기에, 각 올에 대하여 외대수를 취하면 $2^{n}$ 차원 벡터 다발

⋀ T^{*} M

을 얻는다. 그 단면을 $M$ 위의 미분 형식이라고 한다. 미분 형식의 공간을 다음과 같이 표기하자.

Ω (M) = Γ (⋀ T^{*} M)

외대수 연산에 따라, 이 다발은 자연스럽게 차수로 분해된다.

⋀ T^{*} M = ⨁_{k = 0}^{n} ⋀^{k} T^{*} M

Ω (M) = ⨁_{k = 0}^{n} Ω^{n} (M) = ⨁ Γ (⋀^{k} T^{*} M)

$k$ 차 미분 형식은 $Ω^{k} (M)$ 의 매끄러운 단면이다.

지표 표기법

미분 형식은 추상적으로 나타낼 수 있지만, 구체적으로 지표를 가지고 나타낼 수도 있다. $n$ 차원 다양체에 국소적 좌표계 ${x^{i}}_{i = 1, \dots, n}$ 를 잡으면,

{d x^{i}}_{i = 1, \dots, n}

는 1차 미분 형식들의 기저를 이룬다. 따라서, 임의의 $k$ 차 미분 형식은 다음과 같이 성분으로 전개할 수 있다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.)

A = \frac{1}{k!} A_{i_{1} \dots i_{k}} d x^{i_{1}} \land d x^{i_{2}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

이에 따라서, 예를 들어 리만 계량 $g$ 에 의한 부피 형식은

ω = \sqrt{\det (g_{i j})} d x^{1} \land \dots \land d x^{n} = \frac{1}{k!} ϵ_{i_{1} \dots i_{n}} \sqrt{\det (g_{i j})} d x^{1} \land \dots \land d x^{n}

이므로,

ω_{i_{1} \dots i_{n}} = \sqrt{\det (g_{i j})} ϵ_{i_{1} \dots i_{n}}

이 된다.

무한 차원 다양체 위의 미분 형식

국소 볼록 공간 $E$ 가 주어졌을 때, 국소적으로 $E$ 와 위상 동형이며, 매끄러운 전이 함수를 갖는 국소 좌표계를 갖춘 하우스도르프 공간을 $E$ -다양체라고 하자.

이 경우 마찬가지로 미분 형식의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, 위상 벡터 공간의 위상 쌍대 공간이 복잡하기 때문에, 접다발은 잘 정의되지만 일반적으로 공변접다발을 잘 정의하기 힘들며, 일반적으로 미분 형식을 어떤 매끄러운 벡터 다발의 매끄러운 단면으로 정의할 수 없다. 이 때문에, 미분 형식의 개념을 직접적으로 정의해야만 한다.

$E$ -다양체 $M$ 위의 $k$ 차 미분 형식은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[3]^{:Definition Ⅰ.4.1}

각 $x \in M$ 에 대하여, 완전 반대칭 $k$ -선형 변환 $ω_{x} : ⋀^{k} T_{x} M \to ℝ$

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

열린집합

U \subseteq M

위의 국소 좌표

ϕ : U \to E

에 대하여,

ω \circ U^{- 1} : U \times ⋀^{k} E \to ℝ

는 매끄러운 함수이다.

이 경우 쐐기곱과 외미분이 잘 정의된다.

연산

미분 형식들의 집합 위에는 여러 자연스러운 연산들이 정의되는데, 쐐기곱과 내부곱, 외미분, 적분, 당김 등이 있다. 또한, 만약 다양체에 리만 계량을 추가한다면, 미분 형식의 내적과 호지 쌍대를 정의할 수 있다.

쐐기곱

미분 형식의 쐐기곱(영어: wedge product)은 각 위치마다 외대수로서의 쐐기곱이다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다. 임의의 $α \in Ω^{k} (M)$ 과 $β, β^{'} \in Ω^{l} (M)$ , $f \in Ω^{0} (M)$ 에 대하여,

$f \land α = f α$
(분배법칙) $α \land (β + β^{'}) = α \land β + α \land β^{'}$
(반대칭성) $α \land β = (- 1)^{k l} β \land α$

성분으로 적으면 다음과 같다.

(\frac{1}{k!} A_{i_{1} \dots i_{k}} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}) \land (\frac{1}{l!} B_{j_{1} \dots j_{l}} d x^{j_{1}} \land \dots \land d x^{j_{l}}) = \frac{1}{(k + l)!} \frac{1}{k! l!} A_{[i_{1} \dots i_{k}} B_{j_{1} \dots j_{l}]} d x^{i_{1}} \land \dots d x^{i_{k}} \land d x^{j_{1}} \land d x^{j_{l}}

(A \land B)_{i_{1} \dots i_{k} j_{1} \dots j_{l}} = \frac{1}{k! l!} A_{[i_{1} \dots i_{k}} B_{j_{1} \dots j_{l}]}

여기서 $[\dots]$ 는 지표의 (규칙화하지 않은) 완전 반대칭화를 뜻한다. 예를 들어, 두 2차 형식 $A$ , $B$ 의 쐐기곱은

(A \land B)_{i j k l} = A_{i j} B_{k l} - A_{j k} B_{l i} + A_{k l} B_{i j} - A_{l i} B_{j k} - A_{i k} B_{j l} - A_{j l} B_{i k}

이다.

외미분

미분 형식의 외미분(外微分, 영어: Exterior derivative)은

d : Ω^{∙} (M) \to Ω^{∙ + 1} (M)

은 다음 세 조건에 의하여 유일하게 정의된다.

외미분은 (상수 계수에 대한) 선형변환이다.
0차 형식(함수)에 대해, 외미분은 일반 기울기다. 즉, $f \in Ω^{0} (M)$ 에 대하여, $d f = \sum_{i = 1}^{n} (\partial f / \partial x^{i}) d x^{i}$ 이다.
모든 0차 형식에 대해, $d^{2} f = 0$ 이다.
임의의 $α \in Ω^{k} (M)$ , $β \in Ω^{∙} (M)$ 에 대하여 $d (α \land β) = d α \land β + (- 1)^{k} α \land d β$ 이다.

성분으로 쓰면, 구체적으로 다음과 같다. (아인슈타인 표기법을 사용하자.) 임의의 $k$ 차 미분 형식

A = \frac{1}{k!} A_{i_{1} \dots i_{k}} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

에 대하여,

d A = \frac{1}{k!} (\partial_{i_{0}} A_{i_{1} \dots i_{k}}) d x^{i_{0}} \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}} = \frac{1}{(k + 1)! k!} (\partial_{[i_{0}} A_{i_{1} \dots i_{k}]}) d x^{i_{0}} \land d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{k}}

이다. 즉,

(d A)_{i_{0} \dots i_{k}} = \frac{1}{k!} \partial_{[i_{0}} A_{i_{1} \dots i_{k}]} = \partial_{i_{0}} A_{i_{1} \dots i_{k}} - \partial_{i_{1}} A_{i_{0} i_{2} \dots i_{k}} + \partial_{i_{2}} A_{i_{1} i_{0} i_{3} \dots i_{k}} + \dots + (- 1)^{p} \partial_{i_{p}} A_{i_{1} i_{2} \dots i_{p - 1} i_{0} i_{p + 1} \dots i_{k}} + \dots + (-)^{k} \partial_{i_{k}} A_{i_{1} \dots i_{k - 1} i_{0}}

이다. 여기서 $[\dots]$ 는 (규격화하지 않은) 완전 반대칭화를 나타낸다. 예를 들어, 1차 형식의 경우

A = A_{i} d x^{i}

d A = \frac{1}{2} (\partial_{i} A_{j} - \partial_{j} A_{i}) d x^{i} \land d x^{j} = \frac{1}{2} (d A)_{i j} d x^{i} \land d x^{j}

(d A)_{i j} = \partial_{i} A_{j} - \partial_{j} A_{i}

이고, 2차 형식의 경우

A = \frac{1}{2} A_{i j} d x^{i} \land d x^{j}

d A = \frac{1}{6} (\partial_{i} A_{j k} + \partial_{j} A_{k i} + \partial_{k} A_{i j}) d x^{i} \land d x^{j} \land d x^{k} = \frac{1}{6} (d A)_{i j k} d x^{i} \land d x^{j} \land d x^{k}

(d A)_{i j k} = \partial_{i} A_{j k} + \partial_{j} A_{k i} + \partial_{k} A_{i j}

이다.

적분

$n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위에 방향 및 $n$ 차 미분 형식 $α$ 가 주어졌다면, $α$ 의 적분

\int_{M} α \in ℝ \cup {- \infty, \infty}

을 정의할 수 있다. 구체적으로, $M$ 의 좌표근방계 ${(U_{i}, ϕ_{i})}_{i \in I}$ 및 이에 종속되는 단위 분할 ${f_{i}}_{i \in I}$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 당김 $(ϕ_{i}^{- 1})^{*}$ 으로서 각 $ϕ_{i} (U_{i}) \subset ℝ^{n}$ 에 방향을 줄 수 있으며, 이 방향을 통해 유클리드 공간 위의 $n$ 차 미분 형식의 공간과 매끄러운 함수 공간 사이의 동형

Ω^{n} (ϕ_{i} (U_{i})) \overset{ι}{\to} Ω^{0} (ϕ_{i} (U_{i})) = 𝒞^{\infty} (ϕ_{i} (U_{i}), ℝ)

을 정의할 수 있다. 그렇다면

\int_{M} = \sum_{i \in I} \int_{ϕ_{i} (U_{i})} ι ((ϕ_{i}^{- 1})^{*} α) d^{n} λ

이다. 여기서 $\int d^{n} λ$ 는 $n$ 차원 유클리드 공간 위의 르베그 측도에 대한 적분이다. 이 연산은 좌표근방계 및 단위 분할의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 그러나 다양체에 주어진 방향이 반대가 되면, 미분 형식의 적분은 $- 1$ 배가 된다. 즉, 연결 다양체 위의 미분 형식의 적분의 절댓값은 방향에 의존하지 않는다.

내적

만약 $n$ 차원 매끄러운 다양체 $M$ 위에 (유사) 리만 계량 $g$ 가 주어졌다면, 이를 사용하여 두 미분 형식의 내적 $⟨ \cdot, \cdot ⟩ : Ω^{∙} (M) \times Ω^{∙} (M) \to Ω^{0} (M)$ 을 정의할 수 있다. 이는 다음 성질들을 만족시킨다.

서로 차수가 다른 두 미분 형식의 내적은 항상 0이다.
내적은 쌍선형이다.
임의의 $k$ 개의 1차 형식 $η_{i}$ , $η'_{j}$ 에 대하여,
$⟨ η_{1} \land \dots \land η_{k}, η'_{1} \land \dots \land η'_{k} ⟩ = \det (g (η_{i}, η_{j}))_{i j}$
이다.

즉, 성분으로 쓰면 (아인슈타인 표기법을 가정하자)

⟨ \frac{1}{k!} A_{i_{1} \dots i_{k}} d x^{i_{1}} \land \dots \land d x^{i_{n}}, \frac{1}{k!} B_{j_{1} \dots j_{k}} d x^{j_{1}} \land \dots \land d x^{j_{k}} ⟩ = \frac{1}{k!} A_{i_{1} \dots i_{k}} B_{j_{1} \dots j_{k}} g^{i_{1} j_{1}} \dots g^{i_{k} j_{k}}

이다. 이에 따라 부피 형식의 노름은 1이다.

⟨ ω, ω ⟩ = \frac{1}{n!} (\det g) ϵ_{i_{1} \dots i_{n}} ϵ_{j_{1} \dots j_{n}} g^{i_{1} j_{1}} \dots g^{i_{n} j_{n}} = 1

.

호지 쌍대

$n$ 차원 유향 (유사) 리만 다양체 $(M, g, ω)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 호지 쌍대 연산자를 정의할 수 있다.

* : Ω^{∙} (M) \to Ω^{n - ∙} (M)

이는 다음 항등식으로 정의할 수 있다.

α \land * β = ⟨ α, β ⟩ ω

성분으로 쓰면 다음과 같다.

(* A)_{j_{k + 1} \dots j_{n}} = \frac{1}{k!} \sqrt{| \det g |} α_{i_{1} \dots i_{k}} ϵ_{j_{1} \dots j_{n}} g^{i_{1} j_{1}} \dots g^{i_{k} j_{k}}

예를 들어, 4차원 공간에서 2차 미분 형식의 호지 쌍대는

(* A)_{k l} = \frac{1}{2} \sqrt{| \det g |} ϵ_{i j k l} A_{i^{'} j^{'}} g^{i i^{'}} g^{j j^{'}}

이다.

역사

미분 형식의 기호 및 외미분, 쐐기곱 등은 엘리 카르탕이 도입하였다.

응용

다변수 미적분학 및 미분위상수학 등에서 다루고, 물리학에서도 전기장과 자기장 등의 여러 물리량을 다루기 위하여 쓴다.

각주

↑ 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함.
↑ Lessig, Christian (2012년 5월 20일). “A Primer on Differential Forms” (영어). arXiv:1206.3323. Bibcode:2012arXiv1206.3323L.
↑ Neeb, Karl-Hermann (2006). “Towards a Lie theory of locally convex groups” (영어). 《Japanese Journal of Mathematics》 1: 291-468. arXiv:1501.06269.

같이 보기

외부 링크

“Differential form” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Differential form” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
“Differential form” (영어). 《nLab》.
“Integration of differential forms” (영어). 《nLab》.
“Pullback of a differential form” (영어). 《nLab》. ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}
이철희. “미분형식 (differential forms)과 다변수 미적분학”. 《수학노트》.
이철희. “미분형식과 맥스웰 방정식”. 《수학노트》.

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[1] 권영현; 윤달선. 《현대 기하학 입문》. 서울: 경문사. ISBN 89-7282-535-2. 2021년 10월 28일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 7월 18일에 확인함.

[2] Lessig, Christian (2012년 5월 20일). “A Primer on Differential Forms” (영어). arXiv:1206.3323. Bibcode:2012arXiv1206.3323L.

[3] Neeb, Karl-Hermann (2006). “Towards a Lie theory of locally convex groups” (영어). 《Japanese Journal of Mathematics》 1: 291-468. arXiv:1501.06269.

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