거리 공간

수학에서 거리 공간(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.

정의

집합 $X$ 위의 거리 함수(距離函數, 영어: metric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

d : X \times X \to [0, \infty)

이다.

(구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x, y \in X$ 에 대하여, $d (x, y) = 0 ⟺ x = y$
(대칭성) 임의의 $x, y \in X$ 에 대하여, $d (x, y) = d (y, x)$
(삼각 부등식, 영어: triangle inequality) 임의의 $x, y, z \in X$ 에 대하여, $d (x, y) + d (y, z) \geq d (x, z)$

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.

(삼각 부등식) $d (z, y) + d (y, x) \geq d (x, z)$

여기서 $z = y$ 로 잡으면 $d (y, x) = d (x, y)$ 가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 $d (x, y) = 0 ⟸ x = y$ 로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

거리 공간 $(X, d)$ 은 거리 함수가 주어진 집합이다.

거리 공간의 특별한 집합

거리 공간 $X$ 에서, 점 $x \in X$ 를 중심으로 하는, 반지름이 $r \in ℝ^{+}$ 인 열린 공 $B_{r} (x)$ 는 다음과 같다.(저자에 따라서는 $B (x, r)$ 로 적기도 한다.)

B_{r} (x) = {y \in X : d (x, y) < r}

점 $x \in X$ 를 중심으로 하는, 반지름이 $r \in ℝ^{+}$ 인 닫힌 공 ${\bar{B}}_{r} (x)$ 는 다음과 같다.

{\bar{B}}_{r} (x) = {y \in X : d (x, y) \leq r}

거리 공간 $X$ 의 유계 집합 $S \subset X$ 는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

$\sup {d (x, s) : s \in S} < \infty$ 인 점 $x \in X$ 가 존재한다.

거리 위상

거리 공간 $(X, d)$ 의 거리 위상(距離位相, 영어: metric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $U \subset X$ 이다.

모든

x \in U

에 대하여,

B (x, r_{x}) \subset U

인

r_{x} > 0

가 존재한다.

거리 위상은 거리 함수 $d : X \times X \to [0, \infty)$ 를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 $(d (x, -) : X \to [0, \infty))_{x \in X}$ 의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.

완비 거리 공간

모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.

지름

거리 공간 $(X, d)$ 의 지름(영어: diameter) $diam X$ 는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

diam X = \sup_{x, y \in X} d (x, y) \in [0, \infty]

마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 거리 공간을 유계 공간이라고 한다.

성질

거리 공간 $(X, d)$ 의 임의의 부분 집합 $Y \subseteq X$ 에 대하여, $(Y, d |_{Y \times Y})$ 는 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질

모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

거리 공간 $(X, d)$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

$X$ 는 분해 가능 공간이다.
$X$ 는 제2 가산 공간이다.
$X$ 는 린델뢰프 공간이다.

예

실수 $ℝ$ 에서, 거리가 절댓값을 이용하여, $d (x, y) = | x - y |$ 로 정의되었을 때, $(ℝ, d)$ 는 완비 거리 공간이다.
유리수의 집합 $ℚ \subset ℝ$ 은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
유클리드 공간에서, $ℝ^{n}$ 에서, 거리를 $d (x, y) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - y_{i})^{2}}$ 로 정의하면, $(ℝ^{n}, d)$ 는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
$ℝ^{n}$ 에서 $d_{0} (x - y) = \max_{1 \leq i \leq n} | x_{i} - y_{i} |$ 을 거리로 정의하면, $(ℝ^{n}, d_{0})$ 는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

노름 공간 $(V, ‖ \cdot ‖)$ 에 대하여, 거리 함수를

d (x, y) = ‖ x - y ‖

로 정의한다면, $(V, d)$ 는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 $(V, ‖ \cdot ‖)$ 에 대하여 거리 함수를

d_{post} (x, y) = ‖ x ‖ + ‖ y ‖

로 정의한다면, $(V, d_{post})$ 는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리(영어: post-office metric)라고 한다.

임의의 연결 리만 다양체 $(M, g)$ 에 대하여, 거리 함수를

d (x, y) = \inf_{γ \in C^{1} ([0, 1], M)} \int_{0}^{1} \sqrt{g^{- 1} (γ^{'} (s), γ^{'} (s))} d s

로 정의한다면, $(M, d)$ 는 거리 공간이다.

임의의 집합 $X$ 및 양의 실수 $r$ 에 대하여,

d (x, y) = {\begin{matrix} 0 & x = y \\ r & x \neq y \end{matrix}

는 초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.

임의의 연결 그래프 $G$ 에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

참고 문헌

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Bryant, Victor (1985년 5월). 《Metric Spaces: Iteration and Application》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052131897-6.
Ó Searcóid, Mícheál (2006). 《Metric Spaces》 (영어). Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer. doi:10.1007/978-1-84628-627-8. ISBN 978-1-84628-369-7. ISSN 1615-2085.

같이 보기

외부 링크

“Metric space” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Metric” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric space” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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