합 규칙

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미적분학에서 합 규칙(合規則, 영어: sum rule)은 미분이 함수의 덧셈을 보존한다는 법칙이다.

정의

두 함수 $f,g:I\to ℝ$가 $x_0\in I\subseteq ℝ$에서 미분 가능하다고 하자. 그렇다면, $f+g$ 역시 $x_0$에서 미분 가능하며, 그 미분은 다음과 같다.

$(f+g{)}^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(x_0)+g^{\prime }(x_0)$

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}(f+g)(x_0)=\frac{df}{dx}(x_0)+\frac{dg}{dx}(x_0)$

보다 일반적으로, 유한 개의 함수 $f_1,f_2,\dots ,f_n:Iℝ$에 대한 합 규칙은 다음과 같다.

$(f_1+f_2+\cdots +f_n{)}^{\prime }(x_0)={f_1}^{\prime }(x_0)+{f_2}^{\prime }(x_0)+\cdots +{f_n}^{\prime }(x_0)$

라이프니츠 표기법을 사용하면 다음과 같다.

$\frac{d}{dx}(f_1+f_2+\cdots +f_n)(x_0)=\frac{d{f}_1}{dx}(x_0)+\frac{d{f}_2}{dx}(x_0)+\cdots +\frac{d{f}_n}{dx}(x_0)$

증명

h(x) = f(x) + g(x)이고 f와 g가 각각 x에서 미분 가능하다고 하자. 미분의 정의와 극한의 성질을 이용하면 h가 x에서 미분 가능하고 h′(x) = f′(x) + g′(x)라는 것을 다음과 같이 증명할 수 있다.

$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{[f(x+\Delta x)+g(x+\Delta x)]-[f(x)+g(x)]}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)+g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ & =f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x).\end{array}$