군의 표현

군의 표현(表現, 영어: representation)은 군론에서, 군을 벡터 공간의 일반선형군의 부분군으로 나타내는 군 준동형이다. 이를 사용하여, 군론의 문제를 선형대수학적 기법으로 다룰 수 있다.

정의

군 G의 체 K 상의 벡터 공간 V에 대한 표현은 G에서 일반선형군 GL(V) 로의 군 준동형을 말한다. 즉, 표현이란 다음의 사상

D : G \to G L (V)

로서 G의 임의의 원소 g₁ 와 g₂ 에 대하여 아래의 두 조건을 만족하는 것을 말한다.

$D (e) = 1$
$D (g_{1} g_{2}) = D (g_{1}) D (g_{2})$

여기서, e는 G의 항등원, 1 은 GL(V)의 항등원이다. 즉, 항등원은 항등원으로 대응되고, 군의 구조가 보존이 되는 것을 요구한다.

만약 표현이 단사 함수라면, 충실한 표현(忠實한表現, 영어: faithful representation)이라고 한다.

표현으로 얻어지는 연산자들이 작용하는 벡터 공간 V를 표현 공간(영어: representation space)이라 하고, V의 (벡터 공간으로서의) 차원을 이 표현의 차원(dimension) 이라고 한다. 기호의 남용으로서, G에서 GL(V) 로의 사상이 무엇인지가 명확할 때에는 V를 G의 표현이라 부르기도 한다.

V 가 유한한 차원 n 일 때에는 n 을 차수(degree)라 부르기도 한다. 이 때에는, V의 기저를 하나 선택하여 GL(V)를 K 상의 n×n 가역행렬들의 군 GL(n, K) 와 동일시하는 것이 일반적이다.

G 가 위상군이고 V 가 위상 벡터 공간일 경우, G의 V에 대한 표현 D 가 연속 표현(連續表現, 영어: continuous representation)이라는 것은

\begin{matrix} Φ : & G \times V & \to V \\ (g, v) & \mapsto D (g) v \end{matrix}

로 정의된 함수 Φ 가 연속 함수인 경우를 말한다.

동등한 표현

두 표현 D₁ : G → GL(V₁) 와 D₂ : G → GL(V₂) 가 동등하다는 것은 벡터 공간 V₁ 와 V₂ 사이에 동형 사상 A : V₁ → V₂ 가 있어, G의 모든 원소 g에 대해

D_{2} (g) A = A D_{1} (g)

를 만족하는 것을 말한다. 만약 두 표현의 표현 공간이 같은 경우, 위는 간단히

D_{2} (g) = A D_{1} (g) A^{- 1}

로 쓸 수 있다. 여기서 연산자 A를 엮음 연산자(영어: intertwining operator)라 하기도 한다.

불변 부분 공간과 기약 표현

벡터 공간 V의 부분 공간 W 가 군 G의 작용에 대해 불변(不變, 영어: invariant)이라는 것은 부분 공간 위의 임의의 벡터에 어떠한 D(g)를 작용시켜도 벡터가 부분 공간 위에 남아있는 부분 공간을 말한다. 즉, G의 모든 원소 g에 대해

D (g) W \subseteq W

이 성립하면 W를 불변부분공간(不變部分空間, invariant subspace)이라 한다.

약분 가능 표현(영어: reducible representation)은 불변 부분 공간이 존재하는 표현이다. 약분 가능 표현이 아닌 표현은 기약 표현이라고 한다.

응용

군 표현론은 물리학에서 물리적 계의 대칭군과 그 계를 기술하는 방정식의 해의 관계를 탐구하면서 널리 응용된다. 특히, 양자역학에서, 상태공간인 힐베르트 공간은 계의 대칭군의 표현을 이룬다.

같이 보기

참고 문헌

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외부 링크

“Representation of a group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Todd Rowland. “Group representation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.

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