군 표현의 지표

군 표현론에서, 군 표현의 지표(指標, 영어: character 캐릭터^[*])는 공액류에 대한, 표현 행렬의 대각합인 유함수이다.

정의

$G$가 군이고, $V$가 체 $k$에 대한 벡터 공간이고, $\rho :G\to \mathrm{GL}(V)$가 군 표현이라고 하자. $G$의 공액류의 집합을 $[G]$로 쓰자. 그렇다면 표현 $\rho$의 지표 ${\chi }_{\rho }:[G]\to k$는 다음과 같은 함수다.

${\chi }_{\rho }([g])=\mathrm{tr}\rho (g)$. ($g\in G$, $[g]\in G$는 $g$의 공액류)

성질

표현 $\rho$의 차원은 $\dim \rho ={\chi }_{\rho }(1)$이다.

지표는 군 표현의 직합과 텐서곱을 준수한다. 즉,

${\chi }_{\rho \oplus \sigma }={\chi }_{\rho }+{\chi }_{\sigma }$

${\chi }_{\rho \otimes \sigma }={\chi }_{\rho }{\chi }_{\sigma }$

이다.

표현의 텐서 제곱 $\rho \otimes \rho$는 다음과 같이 대칭 및 반대칭 성분으로 분해할 수 있다.

$\rho \otimes \rho ={\mathrm{Sym}}^2(\rho )+\rho \wedge \rho$.

이 경우,

${\chi }_{\rho \wedge \rho }(g)=\frac{1}{2}(({\chi }_{\rho }{)}^2(g)-{\chi }_{\rho }(g^2))$

${\chi }_{{\mathrm{Sym}}^2(\rho )}(g)=\frac{1}{2}(({\chi }_{\rho }{)}^2(g)+{\chi }_{\rho }(g^2))$

이다.

복소수 벡터 공간 위 표현의 경우, 다음이 성립한다.

${\chi }_{{\rho }^{*}}={\overline{\chi }}_{\rho }$.

여기서 ${\rho }^{*}$는 복소 표현의 행렬 원소들의 (전치 없는) 복소켤레 표현이고, ${\overline{\chi }}_{\rho }$는 ${\chi }_{\rho }$의 복소켤레이다.

역사

페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 유한군의 지표론을 제창하였다. 이는 군 표현이 정의되기 이전이었고, 군 표현론의 시초로 여겨진다.

각주

• Isaacs, I.M. (1994). 《Character Theory of Finite Groups》. Dover. ISBN 0-486-68014-2. 
• James, Gordon; Martin Liebeck (2001). 《Representations and Characters of Groups》 2판. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Serre, Jean-Pierre (1977). 《Linear Representations of Finite Groups》. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90190-6. 

같이 보기

• 지표표

외부 링크

• Todd Rowland, Eric Wolfgang Weisstein. “Character table” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group character” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Character of a representation of a group” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.