균등 수렴 위상

해석학에서 균등 수렴 위상(均等收斂位相, 영어: topology of uniform convergence)은 일반위상수학적인 극한이 균등 수렴과 일치하게 하는, 함수 공간 위의 위상이다. 이 경우, 공역에 위상 벡터 공간 또는 (보다 일반적으로) 균등 공간 구조가 필요하다. 만약 공역에 거리 공간이나 노름 공간과 같은 구조가 주어지면, 이 위상 및 균등 공간 구조와 호환되는 균등 거리 함수(영어: uniform metric) 및 균등 노름(영어: uniform norm)을 정의할 수 있다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 균등 공간 $(Y,{ℰ}_Y)$

그렇다면, 함수 집합 $Y^X$ 위에 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.

$ℬ=\{\{(f,g)\in {ℱ}^2:f(x){\approx }_{ϵ}g(x)\mathrm{\forall }x\in X\}:ϵ\in {ℰ}_Y\}$

이를 $Y^X$ 위의 균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 균등 수렴 위상이라고 한다.^{:TG X.2, Définition X.1.1}

보다 일반적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• $X$의 덮개 $𝒰\subseteq 𝒫(X)$
• 균등 공간 $(Y,{ℰ}_Y)$

그렇다면, 함수 집합 $Y^X$ 위에 다음 조건을 만족시키는 가장 엉성한 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.

• 임의의 $U\in 𝒰$에 대하여, 제약 사상 $(-){|}_U:Y^X\to Y^U$는 ($Y^U$에 균등 수렴 균등 구조를 부여할 때) 균등 연속 함수이다.

이를 $Y^X$ 위의 $𝒰$-균등 수렴 균등 구조라고 하며, 이로부터 유도되는 위상을 $𝒰$-균등 수렴 위상이라고 한다.^{:TG X.2, Définition X.1.2}

만약 $𝒰$가 한원소 덮개라면 $𝒰$-균등 수렴 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 같다. 만약 $𝒰$가 $X$의 유한 부분 집합들로 구성된 덮개라면, $𝒰$-균등 수렴 균등 구조는 곱 균등 구조이다. 만약 $X$가 위상 공간이며, $𝒰$가 콤팩트 집합들로 구성된 덮개라면, $𝒰$-균등 수렴 균등 구조는 모든 콤팩트 집합 위에서 균등 수렴을 수렴 조건으로 하는 균등 구조이다.

균등 거리 함수

확장 거리 함수(영어: extended metric)는 거리 함수와 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 $X\times X\to [0,\mathrm{\infty }]$이다. 확장 거리 함수 $d$에 대하여 $d^{\prime }(x,y)=\min \{1,d(x,y)\}$는 거리 함수를 이루며, $d$와 $d^{\prime }$은 같은 위상을 정의한다.

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 거리 공간 $(Y,d_Y)$

그렇다면, $Y^X$ 위에 다음과 같은 확장 거리 함수를 부여할 수 있다.

$d(f,g)=\underset{x\in X}{\sup }{d}_Y(f(x),g(x))\in [0,\mathrm{\infty }]$

이를 $Y^X$ 위의 균등 수렴 확장 거리 함수(영어: extended metric of uniform convergence) 또는 단순히 균등 거리 함수(영어: uniform metric)이라고 한다. 균등 수렴 확장 거리 함수가 유도하는 균등 구조는 균등 수렴 균등 구조와 일치한다.

균등 노름

벡터 공간 $V$ 위의 확장 노름(영어: extended norm)은 노름과 유사하지만, 무한대의 값을 가질 수 있는 함수 $V\to [0,\mathrm{\infty }]$이다. (이때 $0\mathrm{\infty }=0$으로 놓는다.)

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 노름 공간 $(Y,{\nu }_Y)$

그렇다면, 함수 집합 $Y^X$ 위에 다음과 같은 확장 노름을 부여할 수 있다.

$\nu (f)=\underset{x\in X}{\sup }{\nu }_Y(f(x))\in [0,\mathrm{\infty }]$

만약 이를 유계 함수의 집합

$\{f\in Y^X:\underset{x\in X}{\sup }{\nu }_Y(f(x))<\mathrm{\infty }\}$

으로 국한한다면, 이는 참된 노름을 정의한다. 이를 균등 노름(영어: uniform norm) 또는 상한 노름(영어: supremum norm)이라고 한다. 균등 노름이 유도하는 거리 함수는 (확장 노름에 대응하는 확장 거리 함수에 대한) 균등 수렴 확장 거리 함수와 일치한다.

성질

만약 $(Y,{ℰ}_Y)$가 완비 균등 공간이라면, $Y^X$ 위의 균등 수렴 균등 구조 역시 완비 균등 공간이다.

외부 링크

• “Topology of uniform convergence” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Supremum norm” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Definition: supremum norm”.