극한 주기 궤도

파일:Limit cycle Poincare map.svg

안정 극한 주기 궤도의 푸앵카레 사상. 안정 극한 주기 궤도는 굵은 검은 선으로 표시하였고, 이로 수렴하는 다른 궤도들은 가는 검은 선으로 표시하였다.

파일:VanDerPolPhaseSpace.png

판데르폴 진동자에서의 극한 주기 궤도

동역학계 이론에서 극한 주기 궤도(極限週期軌道, 영어: limit cycle)는 주기 궤도 가운데 적어도 하나 이상의 다른 궤도의 극한 집합을 이루는 것이다.

정의

위상 공간 $X$ 위의 연속 시간 동역학계

$\varphi :ℝ\times X\to X$

$\mathrm{\forall }x\in X:\varphi (0,x)=x$

$\mathrm{\forall }{t}_1,t_2\in ℝ\mathrm{\forall }x\in X:\varphi (t_1,\varphi (t_2,x))=\varphi (t_1+t_2,x)$

위의, 초기 조건 $x\in X$의 궤도(軌道, 영어: orbit)는 다음과 같은 꼴의 집합이다.

$\gamma (x)=\{\varphi (t,x):t\in ℝ\}$

이 동역학계의 주기 궤도(週期軌道, 영어: periodic orbit, cycle)는 다음 조건을 만족시키는 초기 조건 $x$에 대한 궤도이다.

$\mathrm{\exists }t\ne 0:\varphi (t,x)=x$

극한 주기 궤도는 다음 조건을 만족시키는 주기 궤도 $\gamma (x)$이다.

• ${\omega }_{\pm }(y)=\gamma (x)$가 되는 $y\in X\setminus \gamma (x)$가 존재한다.

여기서 ${\omega }_{\pm }$은 안정 또는 불안정 극한 집합이다.

극한 주기 궤도 $\gamma (x)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 $U\supset \gamma (x)$이 존재한다면, $\gamma (x)$를 안정 극한 주기 궤도(安定極限週期軌道, 영어: stable limit cycle)이라고 한다.

• 모든 $y\in U$에 대하여, ${\omega }_{+}(y)=\gamma (x)$

극한 주기 궤도 $\gamma (x)$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 $U\supset \gamma (x)$이 존재한다면, $\gamma (x)$를 불안정 극한 주기 궤도(不安定極限週期軌道, 영어: unstable limit cycle)이라고 한다.

• 모든 $y\in U$에 대하여, ${\omega }_{-}(y)=\gamma (x)$

그러나 안정 극한 주기 궤도도, 불안정 극한 주기 궤도도 아닌 극한 주기 궤도가 존재한다. 안정 극한 주기 궤도는 끌개의 예이다.

참고 문헌

• Moehlis, Jeff; Josic, Kresimir; Shea-Brown, Eric T. “Periodic orbit” (영어). 《Scholarpedia》 1 (7): 1358. doi:10.4249/scholarpedia.1358. ISSN 1941-6016. 
• Robinett, Rush D., III; Wilson, David G. (2008). “What is a limit cycle?” (영어). 《International Journal of Control》 81 (12): 1886–1900. doi:10.1080/00207170801927163. 

외부 링크

• “Limit cycle” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit cycle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 

같이 보기

• 평형점
• 끌개
• 푸앵카레-벤딕손 정리
• 호프 분기