극한

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해석학 및 위상수학에서 극한(極限, 영어: limit) 또는 극한값(極限-)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는 $\lim$. 수렴(收斂, 영어: convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산(發散, 영어: divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.

정의

필터

 이 부분의 본문은 근방 필터입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• $X$의 부분 집합들의 필터 기저 $ℬ\subset 𝒫(X)$
• $x\in X$

만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저 $ℬ$가 점 $x$로 수렴한다(영어: the filter base $ℱ$ converges to the point $x$)고 하며, $x$를 $ℬ$의 극한이라고 한다. 이를 $ℬ\to x$라고 쓴다.

• ${𝒩}_x\subset \uparrow ℬ$. 즉, 임의의 근방 $U\ni x$에 대하여, $B\subset U$인 $B\in ℬ$가 존재한다. (여기서 ${𝒩}_x$는 $x$의 근방 필터이며, $\uparrow ℬ$는 $ℬ$의 상폐포다.)

다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $x$가 $ℬ$의 집적점(集積點, 영어: cluster point)이라고 한다.

• $x\in \bigcap _{B\in ℬ}\mathrm{cl}B$. (여기서 $\mathrm{cl}B$는 $B$의 폐포다.)
• ${ℬ}^{\prime }\to x$이며 $\uparrow ℬ\subset \uparrow {ℬ}^{\prime }$인 필터 기저 ${ℬ}^{\prime }\subset 𝒫(X)$가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

필터 기저 $ℬ$의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물

$\{(b,B):b\in B\in ℬ\}\to X$

$(b,B)\mapsto b$

의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다.

$(b,B)\lesssim (b^{\prime },B^{\prime })⟺B\supset B^{\prime }$

그물과 점렬

 이 부분의 본문은 그물 (수학)입니다.

 이 부분의 본문은 수열의 극한입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 그물 $(x_i{)}_{i\in (I,{\lesssim }_I)}\subset X$
• $x\in X$

만약 다음 조건이 성립한다면, 그물 $(x_i{)}_{i\in I}$가 점 $x$로 수렴한다(영어: the net $(x_i{)}_{i\in I}$ converges to the point $x$)고 하며, $x$를 $(x_i{)}_{i\in I}$의 극한이라고 한다. 이를 $x_i\to x$라고 쓴다.

• 임의의 근방 $U\ni x$에 대하여, $\mathrm{\forall }i{\gtrsim }_I{i}_0:x_i\in U$인 $i_0\in I$가 존재한다.

특히, 실수열 $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}\subset ℝ$의 경우 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, $\mathrm{\forall }n\ge n_0:|x_n-x|<ϵ$인 자연수 $n_0\in \mathbb{N}$이 존재한다.

다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 $x$가 $(x_i{)}_{i\in I}$의 집적점이라고 한다.

• 임의의 근방 $U\ni x$에 대하여, $\{i\in I:x_i\in U\}$는 공종 집합이다.
• $x_{i(j)}\to x$인 상향 원순서 집합 $(J,{\lesssim }_J)$ 및 단조 공종 함수 $i:J\to I$가 존재한다.
• $x_{i(j)}\to x$이며 $\mathrm{\forall }{i}_0\in I\mathrm{\exists }{j}_0\in J\mathrm{\forall }j\in j_0:i(j)\gtrsim i_0$인 상향 원순서 집합 $(J,{\lesssim }_J)$ 및 함수 $i:J\to I$가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

그물 $(x_i{)}_{i\in I}$의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저

$\{\{x_i:i\gtrsim i_0\}:i_0\in I\}$

의 극한·집적점과 일치한다.

그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물 $(x_i{)}_{i\in (I,{\lesssim }_I)}$은 $I\to X$ 꼴의 함수다. $I$에 한 점을 추가한 집합 $I\cup \{\mathrm{\infty }\}$ 위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든 $i\in I$는 고립점이며, $\mathrm{\infty }$의 열린 근방은 ($\mathrm{\infty }$와) $\{i\in I:i{\gtrsim }_I{i}_0\}$ 꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,

${𝒟}_{\mathrm{\infty }}=\uparrow \{\{i\in I:i{\gtrsim }_I{i}_0\}:i_0\in I\}$

이며, 그 그물에 대한 상

$\{\{x_i:i\in D\}:D\in {𝒟}_{\mathrm{\infty }}\}$

은 그물로 유도되는 필터 기저와 같은 필터를 생성한다. 따라서, $(x_i{)}_{i\in I}$의 $\mathrm{\infty }$에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.

$\mathbb{N}$ 위의 전순서에 의하여, 점렬은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한·집적점은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, 부분 점렬의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

함수

 이 부분의 본문은 함수의 극한입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$, $Y$
• $x_0\in X$
• 함수 $f:X\setminus \{x_0\}\to Y$
• $y_0\in Y$

그렇다면, $x_0$의 빠진 근방들의 집합족

${𝒟}_{x_0}=\{U\setminus \{x_0\}:U\in {𝒩}_{x_0}\}$

은 $X\setminus \{x_0\}$의 부분 집합들의 필터를 이루며, 따라서 그 상 $f({𝒟}_{x_0})$은 $Y$의 부분 집합들의 필터 기저를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수 $f$가 점 $x_0$에서 점 $y_0$로 수렴한다(영어: the map $f$ converges to the point $y_0$ at the point $x_0$)고 하며, $y_0$을 $f$의 $x_0$에서의 극한이라고 한다. 이는

$f(x)\to y_0(x\to x_0)$

라고 쓴다.

• $f({𝒟}_{x_0})$는 $y_0$으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방 $V\ni y_0$에 대하여, $f(U\setminus \{x_0\})\subset V$인 근방 $U\ni x_0$이 존재한다.

특히, 실함수 $f:ℝ\setminus \{x_0\}\to ℝ$의 경우, 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 $ϵ>0$에 대하여, $f((x_0-\delta ,x_0)\cup (x_0,x_0+\delta ))\subset (y_0-ϵ,y_0+ϵ)$인 양의 실수 $\delta >0$이 존재한다.

$X=ℝ$가 실수선일 때, ${𝒟}_{x_0}$ 대신

${𝒟}_{x_0}^{-}=\{U\cap (-\mathrm{\infty },x_0):U\in {𝒩}_{x_0}\}$

${𝒟}_{x_0}^{+}=\{U\cap (x_0,\mathrm{\infty }):U\in {𝒩}_{x_0}\}$

을 사용하면 $f$의 $x_0$에서의 좌극한(左極限, 영어: left limit)·우극한(右極限, 영어: right limit)의 개념을 얻는다.

성질

존재와 유일성

필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간의 모든 부분 집합들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

• 모든 필터는 집적점을 갖는다.
• 콤팩트 공간이다.

특히, 콤팩트 공간의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

• 모든 (자명하지 않은) 수렴 필터의 극한은 유일하다.
• 하우스도르프 공간이다.

특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$\lim ℱ=x$

$\underset{x\in I}{\lim }{x}_i=x$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n=x$

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=y_0$

(일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)

시작 위상

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 $X$
• 위상 공간들의 족 $(Y_i{)}_{i\in I}$
• 함수족 $(f_i:X\to Y_i{)}_{i\in I}$
• $X$의 부분 집합들의 필터 기저 $ℬ\subset 𝒫(X)$
• $x\in X$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• $X$ 위에 모든 $f_i$들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 시작 위상을 부여하였을 때, $ℬ\to x$
• 임의의 $i\in I$에 대하여, $f_i(ℬ)\to f_i(x)$

특수한 경우들은 다음과 같다.

부분 공간

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X$
• 부분 집합 $Y\subset X$
• $Y$의 부분 집합들의 필터 기저 $ℬ\subset 𝒫(Y)$
• $y\in Y$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• $ℬ\to y$
• $X$에서 $ℬ\to y$

즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.

곱공간

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간들의 집합 $(X_i{)}_{i\in I}$. $X=\prod _{i\in I}{X}_i$가 그 곱공간, ${\pi }_i:X\to X_i$가 사영 함수들이라고 하자.
• $X$의 부분 집합들의 필터 기저 $ℬ\subset 𝒫(X)$
• $x\in X$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• $ℬ\to x$
• 임의의 $i\in I$에 대하여, ${\pi }_i(ℬ)\to x_i$

즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.

이중 극한

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 $X_1$, $X_2$
• 정칙 하우스도르프 공간 $Y$
• 함수 $f:X_1\times X_2\to Y$
• $a_i\in X_i$ ($i=1,2$)

이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.

• 극한 $\underset{(x_1,x_2)\to (a_1,a_2)}{\lim }f(x_1,x_2)$이 존재한다.
• 임의의 $x_1\in X_1$에 대하여, 극한 $\underset{x_2\to a_2}{\lim }f(x_1,x_2)$이 존재한다.

그렇다면, 이중 극한

$\underset{x_1\to a_1}{\lim }\underset{x_2\to a_2}{\lim }f(x_1,x_2)$

이 존재하며,

$\underset{x_1\to a_1}{\lim }\underset{x_2\to a_2}{\lim }f(x_1,x_2)=\underset{(x_1,x_2)\to (a_1,a_2)}{\lim }f(x_1,x_2)$

이다.

증명:

$b=\underset{(x_1,x_2)\to (a_1,a_2)}{\lim }f(x_1,x_2)\in Y$

$\mathrm{\forall }{x}_1\in X:g(x_1)=\underset{x_2\to a_2}{\lim }f(x_1,x_2)$

이라고 하자. 임의의 근방 $V\ni b$에 대하여, 근방 $U_1\ni a_1$ 및 $U_2\ni a_2$이 존재하며,

$\mathrm{\forall }{x}_1\in U_1\mathrm{\forall }{x}_2\in U_2:f(x_1,x_2)\in V$

가 성립한다. 여기에 $x_2\to a_2$를 취하면

$\mathrm{\forall }{x}_1\in U_1:g(x_1)\in \mathrm{cl}V$

를 얻는다. 정칙성에 따라, $b$의 닫힌 근방들은 국소 기저를 이룬다. 따라서,

$\underset{x_1\to a_1}{\lim }g(x_1)=b$

이다.

같이 보기

• 확률 변수의 수렴
• 극한 (범주론)
• 함수의 극한

참고 문헌

• Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》 Reprint ofe 1966판 (영어). Elements of Mathematics (Berlin). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• 이철희. “수열의 극한”. 《수학노트》. 
• “Limit” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Convergence” (영어). 《nLab》. 
• “Limit of a function” (영어). 《nLab》. 
• “Limit” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Limit examples” (영어). 《PlanetMath》. 
• “Limit of sequence of sets” (영어). 《PlanetMath》.