긴 직선

일반위상수학에서 긴 직선(긴直線, 영어: long line)은 국소적으로 유클리드 공간과 위상동형이지만 파라콤팩트 공간이 아닌 위상 공간이다.

정의

임의의 순서수 $\alpha$에 대하여, 곱공간 $\alpha \times {ℝ}_{\ge 0}$에 사전식 순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간을 $L_{\alpha }^{+}$라고 하자. 그렇다면, $L_{\alpha }$를 집합

$(L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\})\times \{+,-\}\bigsqcup \{0\}$

에 다음과 같은 전순서 및 순서 위상을 부여한 위상 공간으로 정의하자.

$(a,-)\le (a,+)\mathrm{\forall }a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}$

$(a,-)\le 0\mathrm{\forall }a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}$

$0\le (a,+)\mathrm{\forall }a\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}$

$(a,-)\le (b,-)⟺a{\le }_{L_{\alpha }^{+}}b\mathrm{\forall }a,b\in L_{\alpha }\setminus \{(0,0)\}$

긴 직선은 $L_{{\omega }_1}$이다. 여기서 ${\omega }_1$은 최소 비가산 순서수이다.

성질

$L_{\alpha }$에 대하여, 다음이 성립한다.

• $L_0$는 공집합이다.
• 만약 $0<\alpha <{\omega }_1$이라면, $L_{\alpha }\cong ℝ$이다.
• $L_{{\omega }_1}\cong ̸ℝ$이지만, $L_{{\omega }_1}$은 국소 유클리드 공간이다.
• 만약 $\alpha >{\omega }_1$이라면, $L_{\alpha }$는 국소 유클리드 공간이 아니다. 구체적으로, $({\omega }_1,0,+)\in L_{\alpha }$는 유클리드 공간과 위상동형인 근방을 갖지 않는다.

$L_{\alpha }$의 크기는

$\max \{|\alpha |,2^{{\mathrm{\aleph }}_0}\}$

이다. 특히, 긴 직선 $L_{{\omega }_1}$은 실수선 $ℝ$와 같은 크기이다.

긴 직선 $L_{{\omega }_1}$은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 국소 유클리드 공간이다.
• T₄ 공간이다.
• 파라콤팩트 공간이 아니다. (따라서 다양체가 아니다.)
• 거리화 가능 공간이 아니다.
• 경로 연결 공간이며, 국소 경로 연결 공간이며, 단일 연결 공간이다.
• 축약 가능 공간이 아니다.
• 제1 가산 공간이지만, 제2 가산 공간이 아니며, 분해 가능 공간이 아니다.

참고 문헌

• Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 2판 (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Long line” (영어). 《nLab》. 
• “Long line” (영어). 《Topospaces》.