Ext 함자

호몰로지 대수학에서 Ext 함자(Ext函子, 영어: Ext functor)는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.

정의

Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.

• Ext 함자는 특정 완전열들의 동치류 집합으로 정의할 수 있다. 이는 가장 구체적이지만 복잡하며, 또 집합론적 문제가 발생할 수 있다 (즉, Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다). 이 정의는 요네다 노부오가 도입하였다.
• 단사 대상을 충분히 가지는 범주 또는 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서, Ext 함자는 오른쪽 유도 함자 또는 왼쪽 유도 함자를 사용하여 정의할 수 있다. 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않지만, 이는 단사 대상 또는 사영 대상이 부족한 아벨 범주에서는 사용할 수 없다.
• 유도 범주의 개념을 사용하면 Ext 함자는 매우 간단하게 정의된다. 그러나 유도 함자의 존재 역시 여러 집합론적 문제를 야기한다.

대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.

완전열을 통한 정의

0차 Ext

임의의 아벨 범주 $𝒜$에 대하여, 0차 Ext 함자는 다음과 같은 사상군 함자이다.

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^0(-,-)={\mathrm{hom}}_{𝒜}(-,-):{𝒜}^{\mathrm{op}}\times 𝒜\to \mathrm{Ab}$

1차 Ext

임의 아벨 범주 $𝒜$의 대상 $A,B\in 𝒜$에 대하여, $A$의 $B$에 대한 확대(영어: extension of $A$ by $B$)는 다음과 같은 짧은 완전열이다.

$0\to B\to X\to A\to 0$

두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 $X\to X^{\prime }$이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다.

$\begin{array}{ccccccc}0\to & B& \to & X& \to & A& \to 0\\ & \Vert & & \downarrow \wr & & \Vert \\ 0\to & B& \to & X^{\prime }& \to & A& \to 0\end{array}$

(이 사상 $X\to X^{\prime }$은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.

확대의 동치류들은 베어 합(영어: Baer sum)이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.^{:78, Definition 3.4.4} 두 확대 $0\to B\stackrel{\iota }{\to }X\stackrel{\pi }{\to }A\to 0$, $0\to B\stackrel{{\iota }^{\prime }}{\to }{X}^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }A\to 0$가 주어졌을 때, $Y$를 $X$와 $X^{\prime }$의 $A$에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.

$X\oplus X\supseteq Y=\{(x,x^{\prime })\in X\oplus X^{\prime }:\pi (x)={\pi }^{\prime }(x)\}\supseteq \iota (B)\oplus {\iota }^{\prime }(B)$

즉, $Y$는 $B$를 두 번 부분 대상으로 포함한다. 대각 사상 ${\mathrm{diag}}_B:B\to B\oplus B$사용하여, $Y$의 몫대상

$X^{″}=\frac{Y}{((\iota ,-{\iota }^{\prime })\circ {\mathrm{diag}}_B)(B)}$

을 정의할 수 있다. 이는 $Y$ 속에 존재하는 두 개의 $B$를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면

$0\to B\to X^{″}\to A\to 0$

는 짧은 완전열을 이룬다. $0\to X\to X^{″}\to A\to 0$의 동치류를 $0\to B\stackrel{\iota }{\to }X\stackrel{\pi }{\to }A\to 0$, $0\to B\stackrel{{\iota }^{\prime }}{\to }{X}^{\prime }\stackrel{{\pi }^{\prime }}{\to }A\to 0$의 동치류의 베어 합(영어: Baer sum)이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 $0\to B\to A\oplus B\to A\to 0$이며, 확대 $0\to B\stackrel{\iota }{\to }X\stackrel{\pi }{\to }A\to 0$의 베어 합에 대한 역원은 $0\to B\stackrel{-\iota }{\to }X\stackrel{\pi }{\to }A\to 0$ 또는 $0\to B\stackrel{\iota }{\to }X\stackrel{-\pi }{\to }A\to 0$이다. (이 둘은 서로 동치이다.)

$𝒜$ 속의 대상 $A,B\in 𝒜$에 대하여, 1차 Ext 함자 ${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^1(A,B)$는 $A$의 $B$에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^1(-,-):{𝒜}^{\mathrm{op}}\times 𝒜\to \mathrm{Ab}$

를 정의한다. 또한, 각 $A\in 𝒜$에 대하여

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^1(A,-):{𝒜}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Ab}$

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^1(-,A):{𝒜}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Ab}$

는 둘 다 가법 함자를 이룬다.

위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다.^{:131, Exercise 6.A} 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.

고차 Ext

2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.^{:79–80, Vista 3.4.6:82–87, §III.5}

아벨 범주 $𝒜$가 주어졌다고 하자. $𝒜$ 속의 대상 $A$, $B$에 대하여, $A$의 $B$에 대한 $n$차 확대(영어: $n$-fold extension of $A$ by $B$)는 다음과 같은 완전열이다.

$0\to B\to X_n\to X_{n-1}\to \cdots \to X_1\to A\to 0$

두 $n$차 확대 $(B,X_{\bullet },A)$, $(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$ 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, $(B,X_{\bullet },A)$가 $(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$의 닮은 확대(영어: similar extension)라고 한다.

$\begin{array}{ccccccccccc}0\to & B& \to & X_n& \to & \cdots & \to & X_1& \to & A& \to 0\\ & \Vert & & \downarrow & & \cdots & & \downarrow & & \Vert \\ 0\to & B^{\prime }& \to & {X_n}^{\prime }& \to & \cdots & \to & {X_1}^{\prime }& \to & A^{\prime }& \to 0\end{array}$

닮음 관계를 $(B,X_{\bullet },A)\prec (B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$로 표기하자. 닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 $n$차 확대 $(B,X_{\bullet },A)$, $(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$ 사이에 다음과 같은 $n$차 확대들의 열

$(B,X_{\bullet },A)=(B^{(0)},X_{\bullet }^{(0)},A^{(0)}),(B^{(1)},X_{\bullet }^{(1)},A^{(1)}),\dots ,(B^{(k)},X_{\bullet }^{(k)},A^{(k)})=(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$

이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, $(B,X_{\bullet },A)$와 $(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$가 서로 동치라고 하자.

모든 $i=1,2,\dots ,k$에 대하여, $(B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})\prec (B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})$이거나 또는 $(B^{(i)},X_{\bullet }^{(i)},A^{(i)})\prec (B^{(i-1)},X_{\bullet }^{(i-1)},A^{(i-1)})$이다.

사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• $(B,X_{\bullet },A)$와 $(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$가 서로 동치이다.
• $(B,X_{\bullet },A)\prec (B^{″},{X_{\bullet }}^{″},A^{″})\succ (B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$인 $n$차 확대 $(B^{″},{X_{\bullet }}^{″},A^{″})$가 존재한다.
• $(B,X_{\bullet },A)\succ (B^{″},{X_{\bullet }}^{″},A^{″})\prec (B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$인 $n$차 확대 $(B^{″},{X_{\bullet }}^{″},A^{″})$가 존재한다.

그렇다면, $n$차 Ext 함자 ${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,B)$는 $A$의 $B$에 대한 $n$차 확대들의 동치류 집합이다.

두 $n$차 확대 $(B,X_{\bullet },A)$, $(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$가 주어졌을 때, $Y_i$를 다음과 같이 정의하자.

• $i=1$일 때, $Y_1$은 $X_1$과 ${X_1}^{\prime }$의 $A$에 대한 당김이다.
• $1<i<n$일 때, $Y_i=X_1\oplus {X_1}^{\prime }$이다.
• $i=n$일 때, $X_n\stackrel{f}{\to }\tilde{Y}\stackrel{f^{\prime }}{\leftarrow }{X_n}^{\prime }$를 $B\stackrel{\iota }{\to }{X}_n$과 $B\stackrel{{\iota }^{\prime }}{\to }{X}_n$의 $B$에 대한 밂이라고 하자. 그렇다면 대각 사상 ${\mathrm{diag}}_B:B\to B\oplus B$를 사용하여, $(f\circ \iota ,-f^{\prime }\circ {\iota }^{\prime })\circ {\mathrm{diag}}_B:B\to \tilde{Y}$를 정의할 수 있다. 그렇다면, $Y_n=\tilde{Y}/((f\circ \iota ,-f^{\prime }\circ {\iota }^{\prime })\circ {\mathrm{diag}}_B)(B)$이다.

그렇다면 $(B,{Y_{\bullet }}^{\prime },A)$는 $n$차 확대를 이룬다. $(B,X_{\bullet },A)$의 동치류와 $(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })$의 동치류의 합을 $(B,{Y_{\bullet }}^{\prime },A)$의 동치류로 정의하자.

$[(B,X_{\bullet },A)]+[(B^{\prime },{X_{\bullet }}^{\prime },A^{\prime })]=[(B,{Y_{\bullet }}^{\prime },A)]$

그렇다면, 이 합에 대하여 ${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,B)$는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(-,-):{𝒜}^{\mathrm{op}}\times 𝒜\to \mathrm{Ab}$

를 이루며, 각 $A\in 𝒞$에 대하여

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,-):𝒜\to \mathrm{Ab}$

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(-,A):{𝒜}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Ab}$

둘 다 가법 함자를 이룬다.

요네다 합성

Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 $𝒜$의 대상 $A,B,C\in 𝒜$에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 $\otimes$는 아벨 군의 텐서곱이다.)

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,B)\otimes {\mathrm{hom}}_{𝒜}(B,C)\to {\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,C)$

${\mathrm{hom}}_{𝒜}(A,B)\otimes {\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(B,C)\to {\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,C)$

이는 ${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^0={\mathrm{hom}}_{𝒜}$와 ${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n$를 곱하는 것으로 볼 수 있다.

보다 일반적으로, 임의의 자연수 $m,n\in \mathbb{N}$에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성(영어: Yoneda composition)이라는 군 준동형들이 존재한다.^{:82–87, §III.5}

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^m(A,B)\otimes {\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(B,C)\to {\mathrm{Ext}}_{𝒜}^{m+n}(A,C)$

이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열

$0\to A\to X_1\to \cdots \to X_m\stackrel{\pi }{\to }B\to 0(m\ge 1)$

$0\to B\stackrel{\iota }{\to }{Y}_1\to \cdots \to Y_n\to C\to 0(m\ge 1)$

이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.

$0\to A\to X_1\to \cdots \to X_m\stackrel{\iota \circ \pi }{\to }{Y}_1\to \cdots \to Y_n\to C\to 0$

그렇다면 $(A,X_{\bullet },B)$의 동치류와 $(B,Y_{\bullet },C)$의 동치류의 요네다 합성은 $(A,X_{\bullet },Y_{\bullet },C)$의 동치류이다.

요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 ${\mathrm{GrAb}}_{\mathbb{N}}$ 위의 풍성한 범주 $\mathrm{Ext}𝒜$를 다음과 같이 정의할 수 있다.

• $\mathrm{Ext}𝒜$의 대상은 $𝒜$의 대상과 같다.
• $\mathrm{Ext}𝒜$의 사상군은 다음과 같은 자연수 등급 아벨 군이다.

  ${\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ext}𝒜}(A,B)=\underset{n}{⨁}{\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,B)$

• $\mathrm{Ext}(𝒜$에서 사상의 합성은 요네다 합성에 의하여 주어진다.
• $\mathrm{Ext}𝒜$에서 항등 사상은 $𝒜$에서의 항등 사상과 같다.

$\mathrm{Ext}𝒜$에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, ${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^0={\mathrm{hom}}_{𝒜}$만 남으므로 원래 범주 $𝒜$를 얻는다.

특히, 대상 $A\in 𝒜$에 대하여, $\mathrm{Ext}𝒜$에서의 자기 사상 등급 아벨 군

${\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ext}𝒜}(A,A)=\underset{n}{⨁}{\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,A)$

은 자연수 등급환을 이룬다.

유도 함자를 통한 정의

아벨 범주 $𝒜$ 속의 대상 $A\in 𝒜$에 대하여,

${\mathrm{hom}}_{𝒜}(A,-):𝒜\to \mathrm{Ab}$

는 왼쪽 완전 함자이며,

${\mathrm{hom}}_{𝒜}(-,A):{𝒜}^{\mathrm{op}}\to \mathrm{Ab}$

는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 $𝒜$가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 ${\mathrm{hom}}_{𝒜}(A,-)$의 오른쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

${\mathrm{Ext}}_{𝒞}^n(A,-)={\mathrm{R}}^n{\mathrm{hom}}_{𝒞}(A,-)$

만약 $𝒜$가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 ${\mathrm{hom}}_{𝒜}(-,A)$의 왼쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.

${\mathrm{Ext}}_{𝒞}^n(-,A)={\mathrm{L}}^n{\mathrm{hom}}_{𝒞}(-,A)$

이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.

특히, 환 $R$ 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 $R\text{-Mod}$는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 ${\mathrm{Ext}}_R^n(-,-)$로 표기한다.

유도 범주를 통한 정의

Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다. 아벨 범주 $𝒜$가 주어졌다고 하자. $𝒜$의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, $𝒜$는 사슬 복합체 범주 $\mathrm{Ch}(𝒜)$의 충만한 부분 범주를 이룬다.

$𝒜$ 속의 사슬 복합체 $A$에 대하여,

$A[i{]}^{\bullet }=X^{\bullet +i}$

$d_{A[i]}=(-1{)}^{n}d{|}_A$

로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 $\mathrm{deg}d=+1$이다.) 또한, $𝒜$의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, $𝒜$의 두 대상 $A,B\in 𝒜$에 대한 $n$차 Ext 함자는 유도 범주 $\mathrm{D}(𝒜)$의 다음과 같은 사상군이다.

${\mathrm{Ext}}_{𝒜}^n(A,B)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{D}(𝒜)}(A,B[i])$

(이 경우, 집합론적 문제는 원래 아벨 범주가 국소적으로 작은 범주라고 해도, 그 유도 범주는 일반적으로 국소적으로 작은 범주가 아닐 수 있는 것이다.)

성질

만약 $M$이 사영 가군이거나 $N$이 단사 가군이라면,

${\mathrm{Ext}}_R^n(M,N)=0\mathrm{\forall }n>0$

이다. 또한, 다음이 성립한다.

${\mathrm{Ext}}_R^n(\underset{i\in I}{⨁}{M}_i,\prod _{j\in J}{N}_j)\cong \prod _{i\in I}\prod _{j\in J}{\mathrm{Ext}}_R^n(M_i,N_j)$

예

벡터 공간

체 $K$ 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 $V$의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.

$0\to V\to I^0=V\to 0$

$0\to P^0=V\to V\to 0$

따라서, $K$ 위의 벡터 공간 $V$, $W$가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.

${\mathrm{Ext}}_K^0(V,W)=\mathrm{hom}(V,W)$

${\mathrm{Ext}}_K^n(V,W)=0\mathrm{\forall }n>0$

아벨 군

정수환 $\mathbb{Z}$ 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 $G$는 자유 아벨 군 $P^0$의 몫군 $P^0/P^1$으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.

$0\to G\to P^0\to P^1\to 0$

마찬가지로, 임의의 아벨 군 $G$는 나눗셈군 $I^0$의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다.

$0\to G\to I^0\to I^1\to 0$

아벨 군 $G$, $H$가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. $G$의 사영 분해가 $G\cong P^0/P^1$이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.

$0\to {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(P^0,H)\stackrel{\mathrm{res}}{\to }{\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(P^1,H)\to 0$

여기서 $\mathrm{res}:{\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(P^0,H)\to {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(P^1,H)$은 포함 사상 $P^1\hookrightarrow P^0$으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다. 따라서,

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^0(G,H)\cong {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(G,H)$

이며,

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(G,H)\cong {\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(P^1,H)/\mathrm{res}({\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(P^0,H))$

는 군의 확대

$0\to H\to E\to G\to 0$

들의 동형류와 일대일 대응한다.

나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^n(G,H)=0\mathrm{\forall }n\ge 2$

또한, 임의의 나눗셈군 $H$에 대하여

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(G,H)=0$

이다. 특히, 유리수의 군 $\mathbb{Q}$나 그 몫군 $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$은 나눗셈군이므로

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(G,\mathbb{Q})={\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(G,\mathbb{Q}/\mathbb{Z})=0$

이다.

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^0(G,H)={\mathrm{hom}}_{\mathrm{Ab}}(G,H)$

$G\mathrm{\setminus }H$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}/(n)$	$\mathbb{Q}$
$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}/(n)$	$\mathbb{Q}$
$\mathbb{Z}/(m)$	0	$\mathbb{Z}/(\gcd \{m,n\})$	0
$\mathbb{Q}$	0	0	$\mathbb{Q}$

${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(G,H)$

$G\mathrm{\setminus }H$	$\mathbb{Z}$	$\mathbb{Z}/(n)$	$\mathbb{Q}$
$\mathbb{Z}$	0	0	0
$\mathbb{Z}/(m)$	$\mathbb{Z}/(m)$	$\mathbb{Z}/(\gcd \{m,n\})$	0
$\mathbb{Q}$	${\mathbb{Q}}^{\oplus 2^{{\mathrm{\aleph }}_0}}$	0	0

리 대수 코호몰로지

파일:Icons8 flat search.svg 이 부분의 본문은 리 대수 코호몰로지입니다.

리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.

층 코호몰로지

위상 공간 $X$ 위의 아벨 군층 $ℱ$의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.

${\mathrm{H}}^{\bullet }(X,ℱ)={\mathrm{Ext}}^{\bullet }(\underset{\_}{\mathbb{Z}},ℱ)$

여기서

• Ext 함자는 $X$ 위의 아벨 군층의 아벨 범주에서 취한 것이다.
• $\underset{\_}{\mathbb{Z}}$는 정수환 값의 상수층이다.

스킴 $X$ 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.

${\mathrm{Ext}}^1({𝒪}_X,{𝒪}_X)={\mathrm{H}}^1(X,{𝒪}_X)$

어원

‘Ext’는 영어: extension(확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 $G$를 다른 아벨 군 $H$로 확대한다면, 가능한 확대들은 ${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(G,H)$와 일대일 대응한다.

같이 보기

• Tor 함자
• 그로텐디크 군
• 호몰로지 차원

각주

• Gelfand, Sergei I.; Yuri Ivanovich Manin (1999). 《Homological algebra》 (영어). Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-65378-3. 
• 李起安 (1972). “現代數學과 Homology 代數” (PDF). 《Bulletin of the Korean Mathematical Society》 9 (2): 83–99. ISSN 1015-8634. 

외부 링크

• “Extension of a module” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Baer multiplication” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Ext” (영어). 《nLab》. 
• “How to make Ext and Tor constructive” (영어). Math Overflow.