내부곱

미분기하학에서 내부곱(內部곱, 영어: interior product)은 벡터장과 미분 형식 사이에 정의되는, 일종의 대수적 미분 연산이다. 기호는 $⌟$ 또는 $\iota$.

정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 내부곱

$⌟:\Gamma (\mathrm{T}M){\otimes }_{ℝ}{\Omega }^{\bullet }(M)\to {\Omega }^{\bullet -1}(M)$

$⌟:X\otimes \alpha \mapsto X⌟\alpha$

은 벡터장과 미분 형식을 곱하여 미분 형식을 만드는 연산이며, 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있다. ($X⌟\alpha$는 간혹 ${\iota }_X\alpha$로 표기되기도 한다. 이에 대응하는 유니코드 기호는 U+2A3C ⨼이다.)

공리적 정의

$M$ 위의 내부곱

$⌟:\Gamma (\mathrm{T}M){\otimes }_{ℝ}{\Omega }^{\bullet }(M)\to {\Omega }^{\bullet -1}(M)$

은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 연산이다.

• (차수 −1) 벡터장 $X$ 및 동차 미분 형식 $\alpha$에 대하여, $\mathrm{deg}(X⌟\alpha )=\mathrm{deg}\alpha -1$
• (곱 규칙) 벡터장 $X$에 대하여, $({\Omega }^{\bullet }(M),X⌟)$는 외대수 위의 미분 등급 대수를 이룬다. 즉, 임의의 $\alpha \in {\Omega }^p(M)$ 및 $\beta \in {\Omega }^q(M)$에 대하여, 다음이 성립한다.

  $X⌟(\alpha \wedge \beta )=(X⌟\alpha )\wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge (X⌟\beta )$

• (1차 미분 형식의 경우) 1차 미분 형식에 대하여 내부곱은 단순히 벡터장과의 축약이다. 즉, 임의의 벡터장 $X$와 1차 미분 형식 $\alpha \in {\Omega }^1(M)$에 대하여, 다음이 성립한다.

  $X⌟\alpha =\alpha (X)$

구체적 정의

$M$ 위의 내부곱

$⌟:\Gamma (\mathrm{T}M){\otimes }_{ℝ}{\Omega }^{\bullet }(M)\to {\Omega }^{\bullet -1}(M)$

은 임의의 $p$차 미분 형식 $\alpha$에 대하여 다음과 같이 정의되는 연산이다.^{:§5.4.3:43, Exercise 3.3}

$X⌟\alpha :(Y_1,Y_2,\dots ,Y_{p-1})\mapsto \alpha (X,Y_1,Y_2,\dots ,Y_{p-1})\mathrm{\forall }{Y}_1,Y_2,\dots ,Y_{p-1}\in \Gamma (\mathrm{T}M)$

성질

임의의 미분 형식 $\alpha \in \Omega (M)$ 및 두 벡터장 $X,Y\in \Gamma (\mathrm{T}M)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$X⌟(Y⌟\alpha )+Y⌟(X⌟\alpha )=0$

특히,

$X⌟X⌟\alpha =0$

이다.

리 미분과의 관계

카르탕 마법 공식(Cartan魔法公式, 영어: Cartan’s magic formula)에 따르면, 임의의 벡터장 $X\in \Gamma (\mathrm{T}M)$와 미분 형식 $\alpha \in \Omega (M)$에 대하여 다음이 성립한다.

${ℒ}_X\alpha =\mathrm{d}(X⌟\alpha )+X⌟\mathrm{d}\alpha$

여기서 $ℒ$은 리 미분이다.

또한, 임의의 두 벡터장 $X,Y\in \Gamma (\mathrm{T}M)$ 및 미분 형식 $\alpha \in \Omega (M)$에 대하여, 다음이 성립한다.

$[X,Y]⌟\alpha ={ℒ}_X(X⌟\alpha )-X⌟{ℒ}_X\alpha$

역사

내부곱의 개념과 용어(독일어: inner Produkt)는 헤르만 그라스만이 도입하였다.^{:§4.1, 107–112}

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Interior product” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Armstrong, John (2011년 7월 26일). “The interior product” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》. 
• “Urge/reason for inventing interior product (Grassmann algebra)” (영어). Math Overflow.