미분 대수

추상대수학에서 미분 대수(微分代數, 영어: differential algebra)는 곱 규칙을 만족하는 자기 선형 변환이 갖추어진 결합 대수이다. 해석학에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.

정의

미분

다음이 주어졌다고 하자.

가환환 $K$
$K$ 위의 결합 대수 $(A, +, 0_{A}, \cdot, 1_{A})$
$(A, A)$ -쌍가군 $_{A} M_{A}$ . 또한, 왼쪽과 오른쪽 $K$ -작용이 서로 일치한다고 하자 ( $k m = m k \forall m \in M, k \in K$ ). (다시 말해, $M$ 은 $A^{e} = A \otimes_{K} A^{op}$ 위의 왼쪽 가군이다.)

그렇다면, $M$ 값의, $A$ 위의 미분(微分, 영어: derivation)은 다음과 같은 $K$ -선형 변환이다.

\partial : A \to M

이는 다음과 같은 곱 규칙을 만족시켜야 한다.

\partial (a b) = (\partial a) b + a (\partial b) \forall a, b \in A

흔히, $_{A} M_{A} =_{A} A_{A}$ 를 사용한다.

미분 대수

미분 대수 $(K, A, \partial)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

가환환 $K$
$K$ 위의 결합 대수 $(A, +, 0_{A}, \cdot, 1_{A})$
미분을 이루는 자기 사상 $\partial : A \to A$ . (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.)

특히, 정수환 $ℤ$ 위의 결합 대수는 환이므로, 만약 $K = ℤ$ (정수환)인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환(微分環,영어: differential ring)이라고 한다. 또한, $K = ℤ$ 이며 $A$ 가 체를 이루는 경우, $(K, A, \partial)$ 를 미분체(微分體, 영어: differential field)라고 한다.

만약 미분 대수의 개념에, 등급을 주어 일반화하면 미분 등급 대수의 개념을 얻는다.

미분 대수 준동형

같은 가환환 $K$ 위의 두 미분 대수 $A$ , $B$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 미분 대수 준동형(微分代數準同形, 영어: differential algebra homomorphism)은 대수 구조로서의 준동형이다. 즉, $K$ -결합 대수 준동형 $f : A \to B$ 가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.

f (\partial a) = \partial f (a) \forall a \in A

미분체 확대(微分體擴大, 영어: differential field extension)는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대이므로 항상 단사 함수이다.

예

교환자

가환환 $K$ 위의 결합 대수 $A$ 의 원소 $a \in A$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자

[a, -] : b \mapsto [a, b] = a b - b a

를 정의한다면 $(K, A, [a, -])$ 는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.

[a, b c] = a b c - b c a = a b c - b a c + b a c - b c a = [a, b] c + b [a, c]

다항식환

환 $R$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환 $R [x]$ 위에 다음과 같은 선형 변환 $\partial : R [x] \to R [x]$ 을 정의할 수 있다.

\partial : r x^{n} \mapsto {\begin{matrix} n r x^{n - 1} & n > 0 \\ 0 & n = 0 \end{matrix} \forall r \in R, n \in ℕ

그렇다면 $(R, R [x], \partial)$ 는 미분 대수를 이룬다.

매끄러운 함수

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

매끄러운 다양체 $M$
벡터장 $X$

그렇다면, $M$ 위의 실수 값 매끄러운 함수들의 집합 $𝒞^{\infty} (M; ℝ)$ 를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수를 이룬다.

벡터장은 $𝒞^{\infty} (M; ℝ)$ 위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.

X f = X^{μ} \partial_{μ} f

그렇다면, $(ℝ, 𝒞^{\infty} (M; ℝ), X)$ 는 미분 대수를 이룬다.

리 대수

가환환 $K$ 위의 리 대수 $𝔤$ 가 주어졌다고 하자. $𝔤$ 위의 미분 $\partial : 𝔤 \to 𝔤$ 은 다음 조건을 만족시키는 $K$ -선형 변환이다.

\partial [a, b] = [\partial a, b] + [a, \partial b]

이 경우, $\partial$ 은 $𝔤$ 의 보편 포락 대수 $U (𝔤)$ 위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.

\partial a_{1} a_{2} \dots a_{k} = \sum_{i = 1}^{k} a_{1} \dots a_{i - 1} (\partial a_{i}) a_{i + 1} \dots a_{k} (k \in ℕ, a_{1}, \dots, a_{k} \in 𝔤)

그렇다면, $(K, U (𝔤), \partial)$ 는 미분 대수를 이룬다.

같이 보기

참고 문헌

Magid, Andy R. (1999년 10월). “Differential Galois theory” (PDF) (영어). 《Notices of the American Mathematical Society》 46 (9): 1041–1049.
Marker, David (2000). 〈Model theory of differential fields〉 (영어). Haskell, Deirdre; Pillay, Anand; Steinhorn, Charles (편집). 《Model Theory, Algebra, and Geometry》. Mathematical Sciences Research Institute Publications 39. Cambridge University Press. ISBN 978-0-52178068-1. 2016년 12월 24일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 12월 23일에 확인함.

외부 링크

“Derivation in a ring” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Differential field” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Differential algbra” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Extension of a differential field” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Differential algebra” (영어). 《nLab》.
“Differential Galois theory” (영어). 《nLab》.

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