열린 함수와 닫힌 함수

일반위상수학에서 열린 함수(-函數, 영어: open map)는 열린집합의 상이 열린집합인 함수다. 마찬가지로, 닫힌 함수(-函數, 영어: closed map)는 닫힌집합의 상이 닫힌집합인 함수다.

정의

위상 공간 $X, Y$ 사이의 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 열린 함수라고 한다.

모든 열린집합 $U \subseteq X$ 에 대하여 $f (U) \subseteq Y$ 가 열린집합이다.
모든 $B \in ℬ$ 에 대하여 $f (B) \subseteq Y$ 가 열린집합인 $X$ 의 기저 $ℬ$ 가 존재한다.
임의의 $x \in X$ 및 그 열린 근방 $U ∋ x$ 에 대하여, $f (U) \supseteq V$ 인 $f (x)$ 의 열린 근방 $V ∋ f (x)$ 가 존재한다.
임의의 $S \subseteq X$ 에 대하여, $f (int S) \subseteq int f (S)$ 이다. 여기서 $int$ 는 내부이다.

위상 공간 $X, Y$ 사이의 함수 $f : X \to Y$ 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 닫힌 함수라고 한다.

모든 닫힌집합 $C \subseteq X$ 에 대하여, $f (C) \subseteq Y$ 가 닫힌집합이다.
임의의 $S \subseteq X$ 에 대하여, $f (cl S) \supseteq cl f (S)$ 이다. 여기서 $cl$ 은 폐포이다.

성질

함수 $X \to Y$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

위상 동형이다.
전단사 연속 열린 함수이다.
전단사 연속 닫힌 함수이다.

만약 $Y$ 가 이산 공간이라면, 모든 함수 $X \to Y$ 는 열린 함수이며 닫힌 함수이다 (그러나 연속 함수일 필요는 없다).

두 개의 열린 함수의 합성은 열린 함수이다. 마찬가지로, 두 개의 닫힌 함수의 합성은 닫힌 함수이다.

위상 공간들의 집합 ${X_{i}}_{i \in I}$ 의 곱공간 $\prod_{i \in I} X_{i}$ 이 주어졌을 때, 자연스러운 사영 $π_{i} \prod_{i \in I} X_{i} \to X_{i}$ 은 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수일 필요는 없다.

만약 $Y$ 가 콤팩트 공간이라면, 사영 $X \times Y \to X$ 는 닫힌 사상이다 (튜브 보조정리).

스킴 사상

두 스킴 사이의 열린 사상 또는 닫힌 사상은 (연속 함수로서) 열린 함수 또는 닫힌 함수를 이루는 스킴 사상이다.

열린 사상과 닫힌 사상은 밑 변환에 대하여 불안정하다. 보편 열린 사상(영어: universally open morphism)/보편 닫힌 사상(영어: universally closed morphism)은 다음 조건을 만족시키는 스킴 사상 $f : X \to Y$ 이다.

임의의 스킴 사상

Y^{'} \to Y

에 대하여, 밑 변환

f^{'} : X \times_{Y} Y^{'} \to Y^{'}

은 열린 사상/닫힌 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

닫힌 사상 ∩ 준콤팩트 함수 ⊋ 보편 닫힌 사상 ⊋ 고유 사상 ⊋ 닫힌 몰입 ⊋ 스킴 동형

열린 사상 ⊋ 보편 열린 사상 ⊋ 국소 유한 표시 평탄 사상 ⊋ 열린 몰입 ⊋ 스킴 동형

$𝔓$ 가 열린 사상 · 닫힌 사상 · 보편 열린 사상 · 보편 닫힌 사상 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

(합성에 대한 닫힘) $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\to} Z$ 에 대하여, 만약 $f$ 와 $g$ 가 $𝔓$ -사상이라면 $g \circ f$ 역시 $𝔓$ -사상이다.
(fpqc 위상에서의 내림) $X \overset{f}{\to} Y \overset{g}{\leftarrow} Y^{'}$ 에 대하여, 만약 밑 변환 $f^{'} : X \times_{Y} Y^{'} \to Y^{'}$ 가 $𝔓$ -사상이며, $g$ 가 fpqc 사상이라면 $f$ 역시 $𝔓$ -사상이다.

여기서 fpqc 사상은 평탄 사상이며, 전사 함수이며, 공역 속의 임의의 콤팩트 열린집합에 대하여 이를 상으로 하는 정의역의 콤팩트 열린집합이 존재하는 스킴 사상이다.

예

열린 함수가 아닌 연속 닫힌 함수

함수

ℝ \to ℝ

x \mapsto x^{2}

는 연속 함수이며 닫힌 함수이지만, 열린 함수가 아니다. 예를 들어, 열린집합 $(- 1, 1)$ 의 상은 $[0, 1)$ 이므로 열린집합이 아니다.

연속 함수가 아닌 열린 닫힌 함수

함수

ℝ \to ℤ

x \mapsto ⌊ x ⌋

는 ( $ℤ$ 가 이산 공간이므로) 열린 함수이며, 닫힌 함수이다. 그러나 이는 연속 함수가 아니다.

함수

𝕊^{1} \to [0, 2 π)

x \mapsto \arg x

는 전단사 함수이며, 열린 함수이며, 닫힌 함수이지만, 연속 함수가 아니다.

닫힌 함수가 아닌 연속 열린 함수

사영 함수

ℝ^{2} \to ℝ

(x, y) \mapsto x

는 전사 함수이며 연속 함수이며 열린 함수이지만, 닫힌 함수가 아니다. 예를 들어, 닫힌집합 ${(x, 1 / x) : 0 \neq x \in ℝ} \subseteq ℝ^{2}$ 의 상은 $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ 이므로 닫힌집합이 아니다.

외부 링크

“Open mapping” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Closed mapping” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Fully-closed mapping” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Open morphism” (영어). 《nLab》.
“Open geometric morphism” (영어). 《nLab》.
“Closed morphism” (영어). 《nLab》.
“Universally closed morphism” (영어). 《nLab》.

같이 보기