대각 사상

범주론에서 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)은 어떤 대상에서 그 거듭제곱으로 가는 표준적인 사상이다. 마찬가지로, 어떤 대상의 거듭쌍대곱에서 원래 대상으로 가는 쌍대 대각 사상(雙對對角寫像, 영어: codiagonal morphism)이 존재한다.

정의

기수 $\kappa$ 및 범주 $𝒞$ 속의 대상 $X$와 가 주어졌다고 하자. 만약 $\kappa$개의 $X$들의 곱 $X^{\times \kappa }$이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 ${\mathrm{id}}_X$로부터 유도되는 사상

${\mathrm{diag}}_X:X\to X^{\times \kappa }$

이 존재한다. 이를 대각 사상이라고 한다. 만약 $\kappa =1$일 경우 이는 항등 사상 ${\mathrm{id}}_X:X\to X$이며, 만약 $\kappa =0$일 경우 이는 끝 대상 $1\cong X^{\times 1}$으로 가는 유일한 사상 $X\to 1$이다.

마찬가지로, 만약 $\kappa$개의 $X$들의 쌍대곱 $X^{\bigsqcup \kappa }$이 존재한다고 하자. 그렇다면, 쌍대곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 ${\mathrm{id}}_X$로부터 유도되는 사상

${\mathrm{diag}}_X:X^{\bigsqcup \kappa }\to X$

이 존재한다. 이를 쌍대 대각 사상(영어: codiagonal morphism)이라고 한다. 만약 $\kappa =1$일 경우 이는 항등 사상 ${\mathrm{id}}_X:X\to X$이며, 만약 $\kappa =0$일 경우 이는 시작 대상 $0\cong X^{\bigsqcup 1}$에서 $X$로 가는 유일한 사상 $0\to X$이다.

예

집합의 범주

집합과 함수의 범주 $\mathrm{Set}$는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합 $X$과 기수 $\kappa$가 주어졌을 때, 곱집합 $X^{\times \kappa }$으로 가는 대각 함수는 다음과 같다.

${\mathrm{diag}}_X^{\kappa }:X\to X^{\times \kappa }$

${\mathrm{diag}}_X^{\kappa }:x\mapsto (\stackrel{\kappa }{\overbrace{x,x,\dots ,x}})\in X^{\times \kappa }$

대각 사상의 치역을 대각 부분 집합(영어: diagonal subset)이라고 한다.

$\kappa =2$이며, $X$가 유한 집합이며, $X$에 임의의 전순서를 주면 $X\times X$의 원소는 변의 길이가 $|X|$인 정사각 행렬의 한 성분으로 생각할 수 있다. 이 경우, 대각 사상은 모든 원소를 정사각 행렬의 (왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 가는) 대각선 위의 성분에 대응시키며, "대각 사상"이라는 이름은 이로부터 유래하였다.

$\left(\begin{array}{c}\bullet \\ -\\ ⋮\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{ccc}\bullet & -& \cdots \\ -& -& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

$\left(\begin{array}{c}-\\ \bullet \\ ⋮\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{ccc}-& -& \cdots \\ -& \bullet & \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right)$

$⋮$

작은 범주의 범주

작은 범주와 함자의 범주 $\mathrm{Cat}$는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 이 경우, 작은 범주 $𝒞$ 위의 대각 함자

${\mathrm{diag}}_{𝒞}:𝒞\to 𝒞\times 𝒞$

는 대상과 사상에 다음과 같이 작용한다.

${\mathrm{diag}}_{𝒞}:X\mapsto (X,X)\in 𝒞\times 𝒞$

${\mathrm{diag}}_{𝒞}:(f:X\to Y)\mapsto (f\times f:(X,X)\to (Y,Y))$

조각 범주

범주 $𝒞$ 속의 대상 $A$ 위의 조각 범주 $𝒞/A$를 생각하자. 조각 범주의 대상 $f:X\to A$의 대각 사상 ${\mathrm{diag}}_f$은 (만약 존재한다면) $𝒞$에서 다음과 같다.

$\begin{array}{ccccc}X& \stackrel{{\mathrm{diag}}_f}{\to }& X{\times }_{A}X& \stackrel{{\mathrm{proj}}_1}{\to }& X\\ & & {\mathrm{proj}}_{1}2\downarrow & & \downarrow f\\ & & X& \to f& A\end{array}$

즉, 이는 당김 $X{\times }_{A}X$에 대한 대각 사상 $X\to X{\times }_{A}X$을 이룬다.

위상 공간의 범주

위상 공간의 범주 $\mathrm{Top}$에서, 대각 사상 ${\mathrm{diag}}_X:X\to X\times X$은 집합으로서의 대각 함수와 같으며, 대각 사상은 항상 그 상으로의 위상 동형을 정의한다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 하우스도르프 공간이다.
• 대각 사상 $X\to X\times X$의 상이 닫힌집합이다.

스킴의 범주

스킴의 범주에서, 당김에 대한 대각 사상 $X\to X{\times }_{Y}X$는 다음과 같이 다양한 정의·정리들에 등장한다.

• 스킴 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X{\times }_{Y}X$는 항상 스킴 몰입이다. 즉, 어떤 열린 몰입 ${\iota }_o:Z\to X{\times }_{Y}X$ 및 닫힌 몰입 ${\iota }_c:X\to Z$의 합성이다.
• 스킴 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X{\times }_{Y}X$가 준콤팩트 함수라면 $f$를 준분리 사상이라고 한다.
• 스킴 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $X\to X{\times }_{Y}X$가 닫힌 몰입이라면 $f$를 분리 사상이라고 한다.^:96 이는 대각 사상의 상이 닫힌집합인 것과 동치이다.^{:96, Corollary II.4.2}
• 국소 유한 표시 사상 $f:X\to Y$에 대하여, 이에 대한 대각 사상 $f:X\to X{\times }_{Y}X$가 열린 몰입이라면 $f$를 비분기 사상이라고 한다.^{:65, Corollaire IV.17.4.2(c)}
• 스킴 사상 $f:X\to Y$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 사상을 보편 단사 사상(영어: universally injective morphism)이라고 한다.
  • 임의의 스킴 사상 $Y^{\prime }\to Y$에 대하여, 밑 변환 $X{\times }_Y{Y}^{\prime }\to Y^{\prime }$이 단사 함수이다.
  • 대각 사상 $X\to X{\times }_{Y}X$가 전사 함수이다.

외부 링크

• “Diagonal morphism” (영어). 《nLab》. 
• “Codiagonal” (영어). 《nLab》. 
• “Diagonal function” (영어). 《nLab》. 
• “Diagonal functor” (영어). 《nLab》. 
• “Diagonal subset” (영어). 《nLab》. 
• “What's with the diagonal morphism?” (영어). StackExchange. 
• “Hausdorff space iff diagonal set on product is closed” (영어). 《ProofWiki》.